Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Резонанс напряжения и резонанс тока
Подключим колебательный контур, сопротивление которого равно R, к генератору переменной электродвижущей силы e = eт cos Ω t, где eт и Ω - амплитуда и частота напряжения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис.9.7). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение
Рис. 9.7. Колебательный контур с генератором ЭДС
Q/C + RI = -LdI/dt + eт cos Ω t,
которое преобразуем при помощи формул (9.6) и (9.7) к виду (9.52)
где функция U = U(t) описывает колебания напряжения на конденсаторе. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму двух функций: U(t) = Ucв(t) + Uв(t), (9.53) где функция Ucв(t) является общим решением (9.25) уравнения (9.23). Эта функция описывает так называемые свободные колебания. Функция Uв(t) есть частное решение уравнения (9.52). Она описывает вынужденный колебания, обусловленные действием подключенного к контуру генератора. Свободные колебания затухают с течением времени. Вынужденные колебания совершаются до тех пор, пока не перестанет действовать генератор. После того как прекратятся свободные затухающие колебания (т.е. обратится в ноль первое слагаемое в формуле (9.53), описывающее эти колебания), в контуре будут происходить только вынужденные колебания, которые в таком случае называются установившимися. Будем искать частное решение уравнения (9.52), которое описывает установившиеся колебания, в виде U = Uв(t) = Um cos(Ωt + y), где Um - амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе, y - начальная фаза этих колебаний. Найдем функции dU/dt = - Ω Um sin (Ωt + y), d2U/dt2 = - Ω2 Um cos (Ωt + y), Подстановка функции (9.54) и ее производных в уравнение (9.52) приводит к равенству Um ((w02 -Ω2) cos (Ωt + y)-2 β Ωsin(Ωt + y)) = w02 eт cos Ωt. Преобразуем это равенство при помощи тригонометрических формул cos (Ωt + y) =cos Ωt cos y - sinΩtsin y, sin (Ωt + y) = sin Ωt cos y + cos Ωtsin y, Сгруппировав слагаемые, содержащие cos Ωt иsinΩt, получим равенство Um ((w02 -Ω2) cos y -2 β Ωsin y)cos Ωt + +Um (-(w02 -Ω2)sin y -2 β Ω cosy)sin Ωt = w02 eт cos Ωt. Это равенство будет выполняться при любых значениях времени t, если равны коэффициенты при cos Ωt иsinΩt в левой и правой частях равенства: Um ((w02 -Ω2) cos y -2 β Ωsin y) = w02 eт (9.55) Um (-(w02 -Ω2)sin y -2 β Ω cosy) = 0 (9.56)
Возведем уравнения (9.55) и (9.56) в квадрат и сложим полученные таким
Um2 ((w02 -Ω2)2 +4 β2 Ω2) = w04 eт2
из которого найдем, что амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе Um = Um (Ω) = w02 eт /√((w02 -Ω2)2 +4 β2 Ω2) Изуравнения (9.56) найдем начальную фазу y вынужденных колебаний
tg y = - 2 β Ω /(w02 -Ω2) (9.58)
Как видно из формулы (9.57), амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе зависит от частоты генератора электродвижущей силы. При Ω = 0 генератор вырабатывает постоянное напряжение eт. В этом случае ток в контуре отсутствует и напряжение на конденсаторе равно напряжению на клеммах генератора Um = eт. При увеличении частоты генератора амплитуда Um вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе увеличивается, достигая наибольшего значения, когда частота генератора принимает значение Ωр, называемое резонансной частотой; а затем при дальнейшем увеличении Ω уменьшается до нуля. График зависимости Um = fm(Ω), определяемой формулой (9.57), представлен на рис. 9.8. Такого вида кривые называются резонансными, а само явление увеличения амплитуды вынужденных колебаний, когда их частота приближается к резонансному значению, - резонансом Um
0 Ωр Ω Рис. 9.8. Резонанс напряжения на конденсаторе
Резонансную частоту Ωр можно найти из условия максимума функции Um = Um (Ω) dUm/dΩ=0 Подставив в это условие производную функции (9.57), получим уравнение -w02 +Ω2 +2 β2 =0 (9.59) из которого найдем, что Ωр = √(w02 - 2 β2)
Этому значению частоты соответствует наибольшее (резонансное) значение амплитуды напряжения
Ump = w02 eт /(2 β √(w02 - β2))
Анализируя формулу (9.59), приходим к выводу, что функция Um = Um (Ω) имеет максимум при условии, что
β <w0/√2 т.е. когда коэффициент затухания β принимает достаточно низкие значения. Если свободные колебания в контуре затухают очень быстро (β >w0/√2 ), то резонанс невозможен. Чем меньше коэффициент затухания β, тем ближе значение Ω р резонансной частоты к собственной частоте w0 контура и тем больше резонансное значение Ump амплитуды напряжения, как это видно из формулы (9.60).
Подставив функцию (9.54) в формулу (9.8), найдем зависимость силы тока от времени
I = Iв(t) = -C Ω Um sin (Ωt + y) = Im cos (Ωt + y +p/2),(9.61) которое описывает установившиеся вынужденные колебания силы тока в контуре. Амплитуда этих колебаний, как следует из формул (9.57) и (9.61), будет Im = Im (Ω) = C Ω Um = C Ωw02 eт /(√((w02 -Ω 2)2 + 4 β 2 Ω 2), (9.62) Нетрудно видеть, что это выражение при любых значениях частоты Ω неотрицательно. При Ω = 0 и Ω →∞ амплитуда силы тока обращается в ноль. Найдем наибольшее значение амплитуды Iт силы тока из условия dIт/dΩ= 0. Подставив функцию (9.62) в это условие, после ее дифференцирования и элементарных преобразований полученного уравнения найдем, что амплитуда Iт силы тока достигает наибольшего значения при Ω = w0 т.е. резонансная частота для силы тока равна собственной частоте контура. График функции 1т = Im (Ω) представлен на рис. 9.9. Резонансное значение силы тока Imp = Im (w0) = C w02 eт /(2 β) = eт /R, (9.63) Интересно отметить, что это значение совпадает со значением силы постоянного тока, который протекает по проводнику сопротивления R, когда к нему приложено постоянное напряжение eт. Найдем значения частоты Ω, которым соответствует значение амплитуды силы тока в \/2 раз меньшее резонансного значения: Im (Ω) = Imp/ √2 (9.64) При помощи формул (9.62) и (9.63) это уравнение можно записать так: 2√2 β Ω = √((w02 -Ω 2)2 + 4 β 2 Ω 2) После возведения этого уравнения в квадрат и простых преобразований придем к уравнению (Ω +w0)| Ω -w0| = 2 β Ω. Из этого уравнения найдем, что ширина ΔΩ (рис. 9.9) резонансной кривой на уровне Imp/√2 ΔΩ =2 | Ω -w0| = 4 β Ω/(Ω +w0) Так как для частот ΔΩ = (w0- ΔΩ /2, w0+Ω/2) справедливо приближенное равенство ΔΩ ≈ w0 будем иметь
ΔΩ ≈ 2β. (9,65)
0 w0 Ω Рис. 9.9. Резонанс силы тока в колебательном контуре
При помощи соотношения (9.31), которое справедливо при β<<w 0,этой формуле можно придать вид ΔΩ/w0 =1/Q
Таким образом, приходим к заключению, что относительная ширина ΔΩ/w0 резонансной кривой обратно пропорциональна добротности конТура Q. Отсюда следует, что чем выше добротность контура, тем "острее" резонансная кривая.
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 181; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.208.72 (0.012 с.) |