Метод комплексных амплитуд в формуле Эйлера.

Если в формуле Эйлера:

 

под φ понимать фазу гармонических колебаний ,то каждому такому колебанию S(t) можно поставить в соответствие комплексное число.

 

 

Из уравнения видно, что решение является мнимой частью комплексного выражения:

 

 

где - комплексная амплитуда, которая несет информацию об амплитуде S₀ и начальной фазе φ₀ колебаний.

Надо отметить, что метод комплексных амплитуд является, фактически, аналитическим выражением метода векторных диаграмм. Если в последнем методе колебание с частотой полностью задается вектором S₀ то в методе комплексных амплитуд колебание задается числом на комплексной плоскости. Поскольку с комплексными числами удобно и просто производить математические операции, то мы используем это обстоятельство для получения решения уравнения вынужденных колебаний.

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Уравнения Максвелла

Проанализировав результаты экспериментов Фарадея, Максвелл при­шел к выводу, что изменяющееся магнитное поле создает вихревое элек­трическое поле. Затем Максвелл предположил, что изменяющееся элек­трическое поле в свою очередь должно создавать вихревое магнитное по­ле. Так как магнитное поле создается электрическими токами, Макс­велл ввел в рассмотрение так называемые токи смещения, которые определяются изменяющимся со временем электрическим полем. Таким образом, согласно теории Максвелла переменные электрическое и маг­нитное поля взаимосвязаны и одновременно существуют в пространстве. Там, где есть одно из этих полей, непременно есть и другое поле. Суще­ствующие вместе переменные электрическое и магнитное поля образуют так называемое электромагнитное поле. Максвелл предложил уравне­ния, описывающие это поле.

Запишем систему уравнений Максвелла для изменяющихся со време­нем электрического и магнитного полей:

div D = q (10.1) (10.2)

div B* = 0,

(10.3) (10.4)

где E - напряженность электрического поля; D - вектор электрической

индукции; E- напряженность магнитного поля; В - магнитная индук­ция; q - объемная плотность свободных зарядов; j - вектор плотности тока. Второе слагаемое в правой части уравнения (10.3)

(10.5)

Максвелл назвал плотностью тока смещения.

Уравнение (10.1) выражает собой закон Фарадея. Уравнение (10.2) со­ответствует теореме Гаусса, которая доказывается в электростатике и переносится без изменения в теорию переменных электрических и маг­нитных полей (электродинамику). Уравнение (10.3) отличается от ана­логичного уравнения из теории постоянного магнитного поля тем, что в его правой части присутствует дополнительное слагаемое j_CM - плот­ность тока смещения. Уравнение (10.4) взято без изменения из магнито­статики.

При помощи теорем Стокса и Остроградского - Гаусса уравнения Максвелла можно записать в интегральной форме так:

dS =0.

В уравнениях (10.6) и (10.8) символ С обозначает произвольный контур, а символ 5 - произвольную поверхность, натянутую на этот контур. В уравнениях (10.7) и (10.9) символ S обозначает произвольную замкнутую поверхность, а символ V - объем внутри этой поверхности.

Уравнение (10.6) выражает собой закон электромагнитной индукции Фарадея. Уравнение (10.7) есть теорема Гаусса для вектора электриче­ской индукции. Уравнение (10.8) называется теоремой о циркуляции век­тора напряженности магнитного поля, или законом полного тока. Пра­вая часть этого уравнения есть сила тока, протекающего через произ­вольную поверхность S, натянутую на контур С. Первое слагаемое здесь есть сила тока проводимости, а второе - сила тока смещения. Уравнение (10.9) есть теорема Гаусса для вектора магнитной индукции.

Уравнения Максвелла следует дополнить уравнениями, определяю­щими связь между векторами D и Е и векторами В и Н, а также уравнениями движения носителей тока. Такими уравнениями в боль­шинстве случаев являются

где е и /г - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, заполняющей пространство, в котором существует исследуемое электромагнитное поле, а - электропроводность вещества. Последнее из этих уравнений выражает закон Ома в дифференциальной форме.