Магнитное поле бесконечно длинного соленоида 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида



Соленоид - это проволочная катушка цилиндрической формы. Его можно представить себе как множество сложенных в стопку круговых витков с током. Силовые линии магнитного поля, создаваемого электри­ческим током в соленоиде, показаны на рис. 6.6. Как видно из этого рисунка, внутри соленоида силовые линии почти прямые. Чем длин­нее соленоид, т.е. чем больше его длина по сравнению с его радиусом, тем меньше кривизна силовых линий внутри соленоида. В таком случае вектор В магнитной индукции поля внутри соленоида будет направлен параллельно его оси. Причем так, что его направление будет связано с направлением тока в соленоиде правилом правого винта. Направим ось х вдоль оси соленоида. При этом проекция вектора магнитной индукции на ось х будет равна его модулю, а все другие его проекции будут равны нулю:

Bx =B, By =Bz =0.

Подставим эти проекции вектора В в уравнение (6.12). Получим

¶B/¶x = 0

Из этого равенства вытекает, что внутри соленоида вектор магнитной индукции не только сохраняет свое направление, но его модуль здесь всюду одинаков. Таким образом, приходим к выводу, что внутри длин­ного соленоида магнитное поле является однородным.

.

Рис. 6.6. Магнитное поле соленоида

Найдем модуль вектора магнитной индукции поля внутри соленоида при помощи теоремы (6.8) о циркуляции этого вектора. В качестве кон­тура С, по которому будем вычислять циркуляцию вектора магнитной индукции, выберем ломанную линию, изображенную пунктиром на рис. 6.6. Отрезок этой линии длиной l находится внутри соленоида и совпа­дает с одной из силовых линий магнитного поля. Две перпендикулярные этому отрезку прямые начинаются на его концах и уходят в бесконеч­ность. Во всех точках этих прямых вектор магнитной индукции или перпендикулярен им (внутри соленоида), или равен нулю (вне соленои­да). Поэтому скалярное произведение Вdl в этих точках равно нулю. Таким образом, циркуляция магнитной индукции по рассматриваемому контуру С будет равна интегралу по отрезку силовой линии длиной l. С учетом того, что модуль вектора магнитной индукции есть постоянная величина будем иметь

= =B =B l

 

Пусть число витков соленоида, охватываемых контуром С, равно N. При этом сумма токов, охватываемых контуром, будет равна NI, где I - сила тока в одном витке соленоида. Теорема (6.8) приводит к равенству

Вl = μo NI,

из которого найдем магнитную индукцию поля в соленоиде:

В = μo nI

(6.14)

где n=N/l

n-число витков, приходящихся на единицу длины соленоида.

Магнитное поле прямого тока

Рассмотрим магнитное поле, создаваемое электрическим током, теку­щим по тонкому бесконечно длинному проводу. Такая система обладает цилиндрической симметрией. Вследствие этого магнитное поле должно обладать следующими свойствами:

1) на любой прямой, параллельной проводу с током, вектор магнитной индукции должен быть всюду оди­наков;

2) при повороте всего магнитного поля целиком вокруг провода оно не изменяется. В таком случае силовыми линиями магнитного поля должны быть окружности, центры которых лежат на оси провода с то­ком (рис, 6.7), а вектор В на любой из этих окружностей всюду имеет один и тот же модуль.

При помощи теоремы (6.8) о циркуляции вектора магнитной индук­ции найдем модуль этого вектора. С этой целью вычислим циркуляцию магнитной индукции по одной из силовых линий С, радиус которой ра­вен а. Так как вектор В является касательным к силовой линии, он коллинеарен векторному элементу dl этой линии. Поэтому

=

 

где В - модуль вектора магнитной индукции, который, как было сказано, всюду на окружности С один и тот же. Вынесем В за знак интеграла. После интегрирования будем иметь

= В 2p a

 

 

Рис. 6.7. Силовые линии магнитного поля прямого токи

 

Так как контур С охватывает всего один провод с током I, теорема (6.8) приводит к равенству

2p a В = μoI

 

Отсюда найдем, что на расстоянии а от бесконечного прямого провода с током I индукция создаваемого им магнитного поля будет

 

В = μoI/ (2p a) (6.15)

 

 

Как видно из рис. 6.7, направление вектора В и направление тока I связаны правилом правого винта. В том, что это действительно так, нетрудно убедиться при помощи закона Био - Савара - Лапласа.

Взаимодействие токов

Рассмотрим два тонких параллельных друг другу прямых провода с токами I1и I2 (рис. 6.8.). Если расстояние R между проводами много меньше их длины, то магнитную индукцию поля, создаваемого первым проводом на этом расстоянии, можно найти по формуле (6.15):

 

В = μoI1/ (2p R)

 

Направление вектора В 1 связано с направлением тока I1 правилом пра­вого винта. Этот вектор изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8. Взаимодействие токов

 

 

Магнитное поле, создаваемое первым током, будет действовать на вто­рой провод с силой Ампера F 21, которая определяется формулой (5.8):

(6.17)

F 21= I2 [ l 2 B 1]

где l 2 - вектор, длина которого равна длина l рассматриваемого участка второго провода. Этот вектор направлен вдоль провода по направлению тока. Модуль силы (6.17) будет

F21 = I2l B1. (6.18)

Подставив выражение (6.16) в формулу (6.18), получим следующее выра­жение для силы, с которой первый провод действует на участок второго провода длины l:

 

F21 = μoI1 I2 l / (2p R)

Направление силы F 21 найдем по формуле (6.17). Когда токи I1, I2 текут в одном направлении эта сила будет направлена в сторону первого провода. Сила F 12, с которой второй провод действует на участок первого провода длины l, равна по модулю и противоположна по направлению силе F 21.

 

Итак, установлено, что параллельные провода с токами, текущими в одном направлении, притягиваются. Нетрудно доказать, что провода с токами, текущими в противоположных направлениях, отталкиваются друг от друга.

При помощи формулы (6.19) определена единица силы тока в СИ. Как известно, эта единица называется ампер. По определению два длинных тонких провода с токами силой в один ампер, расположенные парал­лельно на расстоянии 1 м один от другого, взаимодействуют с силой 2 • 10-7 Н на 1 м длины. Подставив эти значения в формулу (6.19), найдем, что магнитная постоянная

 

m0 = 4p 10-7 Н/м.

 

Единица заряда в СИ - кулон - выражается через единицу силы тока: Кл = А*с. Измерения силы взаимодействия двух точечных зарядов в 1 Кл привели к значению F = 9 • 109 Н при расстоянии между зарядами R = 1 м. Используя эти значения, найдем электрическую постоянную e0 из закона Кулона

F =| Q1Q2 | /(4pe0R 2)

Интересно отметить, что величина

1/Öe0m0 =3 108 м/с

численно равна скорости света в пустоте.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 1760; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.205.159.48 (0.013 с.)