Взаимодействие параллельных проводников с током.

Если заряды движутся в тонкой цилиндрической проволоке, которая в целом электрически нейтральна. Тогда кулоновские силы со стороны движущихся зврядов, образующих электрический ток, экранируются зарядами противоположного знака проволоки и вне проволоки действует лишь магнитная сила.

Следовательно, вокруг проводника с током появляется действие магнитной силы на движущиеся заряды, которые образуют электрический ток. При этом возникаем магнитное взаимодействие токов. Это получается как результат релятивистского анализа взаимодействия движущихся зарядов, хотя магнитное поле было открыто много раньше появления релятивистских представлений.

Положим, что движущие заряды представляют ток, текущий по проводнику, параллельно исходному току, текущему вдоль оси Х и расположенному на расстоянии r от него. Для исходного тока используются индексы 1, а для линейного – индексы 2. на каждый заряд тока 2 со стороны тока 1 действует сила притяжения F_my

Или в предствлении через ток

F_my = - = - = - (8.16)

где I₁=qvS₀, r = y₀

Обозначим n₂ линейную концентрацию зарядов на втором проводнике. На элементе длины dx₂ находится dq₂ = n₂dx₂ зарядов, на которые действует магнитная сила

dF_m = F_my n₂dx₂ (8.17)

подставляя в (8.17) выражение (8.16)

dF_m=- n₂dx₂ (8.18)

где I₂ = qvn₂. Кроме того, в теории магнетизма принято использовать магнитную постоянную вместо μ₀ = 1/e₀c²

Тогда

dF_m = - dx₂ (8.19)

это выражение характеризует взаимодействие прямолинейных токов в бесконечных параллельных проводниках. Условие применимости - малость поперечных размеров проводников по сравнению с расстоянием между ними.

Единица силы тока. Из (8.19) видно, что на длину l₂ проводника приходится сила

F_m = - l₂ (8.20)

Знак минус показывает, что при одинаковых направлениях токов 1 и 2 между проводниками действует сила притяжения. Если направления токов различны, то возникает сила отталкивания. Из (8.20) следует определение единицы силы тока – ампер- сила тока, которая в параллельных проводниках бесконечной длины на расстоянии 1м в вакууме, вызывает силу 2 10^-7 Н на метр длины. Отсюда следует, что μ₀ =4p10^-7 Н/А².

Сила Лоренца. Сила Ампера.

Рассмотрим взаимодействие зарядов в системе координат К¢, движущейся относительно системы К со скоростью v в направлении положительных значений оси X.

В общем случае проекции сил в различных системах координат не равны между собой. Однако, между ними имеются определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т.е. их одинаковый вид в различных системах координат

dp_x/dt = F_x, dp_y/dt = F_y, dp_z/dt = F_z (9.1)

dp_x¢/dt¢ = F_x¢, dp_y¢/dt¢ = F_y¢, dp_z¢/dt¢ = F_z¢. (9.2)

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца

p_y = p_y¢ p_z = p_z¢ (9.3)

Где E= m¢c² –полная энергия материальной точки, β=v/c.

Формулы приводятся к виду

F_x =dp_x/dt =(dp_x/dt¢) (dt¢/dt)= =

= F_x¢ + + (9.4)

F_y =dp_y/dt = (dp_y/dt¢) (dt¢/dt) = (9.5)

F_z =dp_z/dt = (dp_z/dt¢) (dt¢/dt) = (9.6)

Где u_x¢, u_y¢, u_z¢ - скорости точки в системе K¢; F_x¢, F_y¢, F_z¢ вошли в правые части уравнений в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении(9.4) принята во внимание формула

dE¢/dt¢ = F ¢ u ¢ (9.7)

выражающая закон сохранения энергии в системе координат K¢. С помощью формул сложения скоростей

(9.8)

Выражение (9.4) приведем к виду

F_x = F_x¢ + + (9.9)

Для упрощения (9.5) и (9.6) необходимо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые и обратные преобразования, например, у-проекции скорости

Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель u_уu_y¢ находим

(1+v u_x¢/c²)/(1-v u_x/c²)=1-β². (9.10)

Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.6)

F_y = (9.11)

F_z = (9.12)

Таким образом, с помощью формул (9.9), (9.10) и (9.12) сила в системе координат К выражена через силу в системе К¢. По принципу относительности можно написать и обратные преобразования.

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Введем обозначения

Z = (F_x¢, F_y¢/Ö1-β², F_z¢/Ö1-β²) (9.13)

G =[0, - (v/c²) F_z¢/Ö1-β²), (v/c²) F_x¢/Ö1-β²)] (9.14)

Нетрудно проверить, что с помощью (9.13) и (9.14) формулы (9.9) (9.11) и (9.12) записываются в виде векторного равенства

F = Z + u × G (9.15)

Так как F – вектор, то и вся правая часть-вектор. Равенство справедливо для произвольных u. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку

u × G и u –векторы, то и G тоже вектор. Таким образом, определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Z и G являются векторами.

Сила Лоренца.

Положим, что в системе координат K¢ имеется только электрическое поле и, следовательно, сила (F_x¢ F_y¢ F_z¢) не зависит от скорости u ¢ частицы. Тогда Z не зависит от скорости частицы u частицы и представляет собой электрическую силу в системе координатK.

Аналогично вектор G также не зависит от скорости u частицы, а может зависеть лишь от координаты и времени. Поэтому зависимость силы от скорости частицы содержится во втором слагаемом (9.15)

F = u × G

Это магнитная сила, направленная перпендикулярно скорости частицы и вектору G, представляющему магнитное поле, которое действует на движущуюся частицу. Поскольку Z в формуле (9.15) представляет электрическую силу, действующую на заряд q, то напряженность

Е = Z /q

Аналогично индукция магнитного поля

B = G /q

С учетом предыдущих формул, сила, действующая на заряд, записывается в форме

F = q E + qu × B

Это сила Лоренца. Первое слагаемое определяет силу электрического взаимодействия, второе – действие магнитного поля.

 

 

МАГНЕТИЗМ

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ

5.1. Сила Лоренца

 

Магнитное поле - это особый вид материи. Подобно тому, как элек­трическое поле проявляет себя действием на заряды, магнитное поле проявляется в том, что на движущиеся заряды и электрические токи в этом поле действуют силы. Количественной характеристикой магнитно­го поля служит вектор магнитной индукции В. Если в пространстве существует магнитное поле, то в каждой его точке Р (r)имеется вектор В, который может изменяться с течением времени:

(5.1)

В = B (t, r ).

Магнитное поле называется постоянным, когда магнитная индукция В

от времени не зависит. Если вектор В не зависит от радиус-вектора r, то магнитное поле называется однородным (рис. 5.1).

 

Опытным путем была установлена формула, которая описывает дей­ствие магнитного поля на движущийся со скоростью v электрический за­ряд q. Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд, называется силой Лоренца. Эта сила коллинеарна векторному произве­дению вектора скорости на вектор магнитной индукции:

 

(5.2)

По определению векторного произве­дения модуль силы Лоренца

F = | q | v В sin a, (5.3)

где а - угол между векторами v и В. Формулу (5.2) можно рассматривать как определение вектора магнитной индукции. Единицей измерения магнитной индукции в СИ служит тесла (T): [В] = Т = Н с/(Кл м) = кг/(с²А).

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца, действующая на заряд в маг­нитном поле, перпендикулярна и вектору скорости v заряда, и вектору В индукции магнитного поля (рис. 5.2). При этом скалярное произве­дение вектора скорости на вектор силы Лоренца,

vF =0,

т.е. мощность силы Лоренца равна нулю. Отсюда следует, что сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы при ее движении в магнитном поле со временем не изменяется.

 

 

Рис. 5.2. Сила Лоренца

5.2. Движение заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле

Пусть в пространстве существует однородное и постоянное магнитное поле. Такое поле характеризуется в любой точке пространства одним и

тем же вектором В. Построим систему координат так, чтобы ось у совпа­дала по направлению с вектором В магнитной индукции. При этом две проекции В_х и В_z вектора В будут равны нулю: В {0, В, 0}. Исследуем движение заряженной частицы в таком

Запишем второй закон Ньютона:

m v = q [ v В ], (5.4)

где m, q - масса и заряд частицы.

Проекции вектора [ v В ] на оси координат можно найти по известному правилу из векторной алгебры:

 

= =

При помощи этого выражения запишем второй закон Ньютона в проек­циях на оси координат:

mv_x ¢ = - q В v_z, т v_y ¢ = 0, mv_z ¢ = q В v_x. (5.5)

Решив эту систему уравнений, можно найти при заданных начальных условиях зависимость от времени вектора скорости частицы: v = v(t), a затем из уравнения r ¢ = v - зависимость r = r (t), описывающую движение частицы.

Задача. Решить систему уравнений (5.5). Найти зависимость r = r (t) при произвольных начальных условиях. Показать, что траекто­рией движения заряда в магнитном поле является винтовая линия.

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца равна нулю, когда вектор скоро­сти коллинеарен вектору магнитной индукции. Поэтому вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно:

F = 0, v = const.

Направим ось у вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 5.3). В
таком случае координата у заряженной частицы будет изменяться со
временем по закону

y(t)=y₀+vt

Рис.5.3. Вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно

 

Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость заряда была пер­пендикулярна вектору В: v_y (0) = 0. При этом из второго уравнения системы (5.5) следует, что v_y (t) = 0, т.е. частица все время будет дви­гаться в плоскости перпендикулярной вектору В: v ^ В. Так как сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы со вре­менем не изменяется, модуль вектора скорости также постоянен. В этом случае тангенциальное ускорение а_т = v ¢ будет равно нулю, а нормальное ускорение в силу второго закона Ньютона будет

а_п =| q | vB/m

В

(5.6)

 

 

Рис. 5.4- Когда скорость за­ряженной частицы перпенди­кулярна силовым линиям одно­родного магнитного поля, она движется по окружности

 

Видно, что в постоянном и однород­ном магнитном поле нормальное уско­рение заряженной частицы со

време­нем не изменяется. Это означает, что частица будет двигаться по окружно­сти (рис. 5.4). Радиус

R этой окруж­ности найдем при помощи формулы для центростремительного ускорения

 

а_п = v²/R (5.7)

Приравняем правые части равенств (5.6) и (5.7). Получим:

R= т v/ (| q | B)

В общем случае заряженная частица в однородном магнитном поле мо­жет совершать два вида движений. Во-первых, частица может двигаться равномерно с некоторой скоростью v||_ вдоль прямой, которая является силовой линией магнитного поля. Во-вторых, частица может двигаться с постоянной скоростью v ^ _ по окружности, которая расположена в плос­кости, к которой силовые линии магнитного поля перпендикулярны. Эти два движения частица может совершать одновременно. В таком случае траекторией движения частицы будет винтовая линия (рис. 5.5). Эта линия характеризуется такими параметрами, как радиус R и шаг h, т.е. наименьшее расстояние между двумя точками на этой линии, отсчитан­ное вдоль ее оси. При этом проекции v||_ и v^ _ вектора скорости v будут связаны с его модулем и углом а между ним и вектором В соотношени­ями

v|| = v cos a, v ^ = v sin a.

 

Время Т, за которое частица совершает один оборот по винтовой ли­нии, называется периодом обращения. За это время, двигаясь по окруж­ности со скоростью v ^, она пройдет путь 2p R, а при движении вдоль силовой линии со скоростью v|| - путь h:

2p R = v ^ Т, h = v|| Т.

Радиус R винтовой линии связан со скоростью v± соотношением

R=m v ^/ / (| q | B)

 

V

Рис. 5.5. Траектория движения заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле - винтовая линия

5.3. Действие магнитного поля на проводник с током. Сила Ампера

Рассмотрим прямолинейный участок проводника с током, помещенно­го в пространстве, где имеется однородное магнитное поле. Электриче­ский ток есть направленное движение заряженных частиц, называемых носителями тока. На движущийся в магнитном поле заряд действует сила Лоренца.

Сумма всех сил Лоренца, которые действуют на носители тока в проводнике, может быть преобразована к виду(5.8)

 

 

(5.8)

где I - сила тока, текущего в проводнике; l - вектор, направление которо­го совпадает с направлением тока, а модуль равен длине l рассматрива­емого участка проводника (рис. 5.6). Сила F, определяемая формулой (5.8), называется силой Ампера. Согласно определению векторного про­изведения сила Ампера перпендикулярна векторам l и В, а ее модуль

F= IlВ sin a,

где а - угол между векторами l и В. Сила Ампера не приложена к какой-либо точке проводника, а распределена по его объему.

Формулы (5.8) и (5.9) справедливы только в том случае, когда прямой проводник находится в однородном магнитном поле. Чтобы найти в об­щем случае силу, которая действует на тонкий провод с током в магнит­ном поле, разделим его на небольшие участки. Каждый такой участок можно считать прямолинейным, а магнитное поле в нем - однородным.

По формуле (5.8) найдем силу Ампера dF, которая действует на один из участков провода:

(5.10)

 

где d l - векторный элемент участка провода. Сила, с которой магнит­ное поле действует на тонкий провод с током, равна криволинейному интегралу

 

 

Рис. 5.6. Сила Ампера

 

 

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЗАРЯДЫ И ТОКИ (продолжение)