Закон био-савара-лапласа и его применение к расчету магнитного поля прямого и кругового токов.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого d l создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию поля d B, записывается в виде

где d l — вектор, по модулю равный длине d l элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор,

проведенный из элемента d l проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-векто­ра г. Направление d B перпендикулярно d l и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в ко­торой они лежат, и совпадает с каса­тельной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по пра­вилу нахождения линий магнитной индук­ции (правилу правого винта): направле­ние вращения головки винта дает направ­ление d B, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора d B определяется вы­ражением

где а — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для элек­трического, справедлив принцип суперпо­зиции: магнитная индукция результирую­щего поля, создаваемого несколькими то­ками или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каж­дым током или движущимся зарядом в от­дельности:

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в об­щем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принци­пом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рас­смотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому про воду бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R, векторы d B от всех элементов тока имеют одина­ковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов d B можно заменить сложением их модулей. В качестве по­стоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами d l и r), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги CD вследствие малости d l равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что маг­нитная индукция, создаваемая одним эле­ментом проводника, равна

Так как угол а для всех элементов прямо­го тока изменяется в пределах от 0 до я, то, согласно (110.3) и (110.4),

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следу­ет из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложе­ние векторов d B можно заменить сложени­ем их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех эле­ментов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

 

18. Поток магнитного поля. Теорема Гаусса для Ḃ.

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку наз. скалярная величина , где угол между векторами (вектор нормали к плоскости контура) и .

Единица: вебер (Вб)..

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору : . Магнитный поток сквозь поверхность с площадью находится алгебраическим суммированием потоков сквозь участки поверхности.

Теорема Гаусса: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю: .

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

 

19. Теорема о циркуляции вектора Ḃ, её применение к расчету полей. Поле соленоида.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био-Савара-Лапласа.

1). Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока 1, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам (рис. 13). Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция вектора В равна

Рис.13. Рис.14.

Согласно выражению (9.2), получим В 2π r = μ_o I (в вакууме), откуда В = μ_o I /(2π r).

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В, получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока, выведенное выше (2.6).

2). Рассчитаем индукцию магнитного поля внутри соленоида – цилиндрической катушки, состоящей из большого числа витков равномерно намотанных на общий сердечник. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий n витков, по которому течет ток I (рис.14). Длину соленоида считаем во много раз большей, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида, проведенное с помощью железных опилок показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида неоднородным и очень слабым, т.е. его можно практически считать равным нулю.

Циркуляция вектора В по замкнутому контуру, совпадающему с одной из линий магнитной индукции, АВСDА, и охватывающему все n витков согласно (9.2), равна

. (10.1)

Интеграл по АВСDА можно представить в виде двух – по внешнему участку ABCD (он равен нулю, так как вне соленоида В =0) и по внутреннему DA.

.

На участке DА циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

.

Отсюда приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

B = μ _o nI / l. (10.2)

Получили, что поле внутри соленоида однородно.

3). Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида – кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора. Магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует. Тороид можно рассматривать как достаточно длинный соленоид свитый в кольцо и для расчета напряженности магнитного поля тороида пользоваться формулой (10.2):

В = μ _o nI / l = μ _o nI /(2 πr). (10.3)

Причем длину тороида l следует считать по средней линии, пренебрегая небольшим различием между внешней и внутренней окружностями кольца.

 

Сила Ампера.

Сила Ампера это та сила, с которой магнитное поле действует на проводник, с током помещённый в это поле. Величину этой силы можно определить с помощью закона Ампера. В этом законе определяется бесконечно малая сила для бесконечно малого участка проводника. Что дает возможность применять этот закон для проводников различной формы.

 

 

Формула 1 — Закон Ампера

B индукция магнитного поля, в котором находится проводник с током

I сила тока в проводнике

dl бесконечно малый элемент длинны проводника с током

альфа угол между индукцией внешнего магнитного поля и направлением тока в проводнике

Направление силы Ампера находится по правилу левой руки. Формулировка этого правила, звучит так. Когда левая рука расположена таким образом, что лини магнитной индукции внешнего поля входят в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывают направление движения тока в проводнике, при этом отогнутый под прямым углом большой палец будет указывать направление силы, которая действует на элемент проводника.

Рисунок 1 — правило левой руки

 

Некоторые проблемы возникают, при использовании правила левой руки, в случае если угол между индукцией поля и током маленький. Трудно определить, где должна находиться открытая ладонь. Поэтому для простоты применения этого правила, можно ладонь располагать так, чтобы в нее входил не сам вектор магнитной индукции, а его модуль.

Из закона Ампера следует, что сила Ампера будет равна нулю, если угол между линией магнитной индукции поля и током будет равен нулю. То есть проводник будет располагаться вдоль такой линии. И сила Ампера будет иметь максимально возможное значение для этой системы, если угол будут составлять 90 градусов. То есть ток будет перпендикулярен линии магнитной индукции.

С помощью закона Ампера можно найти силу, действующую в системе из двух проводников. Представим себе два бесконечно длинных проводника, которые находятся на расстоянии друг от друга. По этим проводникам протекают токи. Силу, действующую со стороны поля создаваемого проводником с током номер один на проводник номер два можно представить в виде.