Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Теории близкодействия взаимодействие между телами всегда осуществляется посредством тех или иных полей: гравитационное взаимодействие - посредством гравитационного поля, электромагнитное взаимодействие - посредством электромагнитного поля и т.д. Поле представляет собой особый вид материи. Оно характеризуется энергией, массой, импульсом и другими величинами.

Теорема Остроградского

Теорема Стокса

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Оператор Набла

ДИВЕРГЕНЦИЕЙ — (расхождение) вектора называют предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность к величине объем ограниченного этой поверхностью при условии, что объем стремится к нулю

Оператор Лапласа

 

Закон Кулона. Напряженность электрического поля.

Принцип суперпозиции электрических полей

Закон Кулона Франция 1785 г

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии, соединяющей центры этих зарядов.

,

Здесь q₁ и q₂ – величины взаимодействующих зарядов;

r – расстояние между зарядами;

– единичный вектор, имеющий направление радиус-вектора заряда;

e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Нм²/Кл²

Силовой характеристикой электрического поля служит векторная физическая величина , называемая напряженностью поля.

напряженности электрического поля это векторная физическая величина, равная отношению силы действующей на заряд помещенный в данную точку поля к величине этого заряда,.

Напряженность электрического поля точечного заряда q определяется формулой

.

Принцип суперпозиции

Если электрическое поле создано не одним, а несколькими зарядами, то напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, созданным каждым зарядом в отдельности.

.

Работа электрического поля по перемещению электрического заряда.

Работа силы на элементарном перемещении равна

q_o – заряд, создающий электрическое поле;

q – заряд, перемещающийся в этом поле;

Потенциалом электрического поля называют скалярную величину, равную отношению потенциальной энергии которой обладает заряд, помещенный в данную точку поля к величине этого заряда.

.

Очевидно, если электрическое поле создается несколькими зарядами, то потенциал такого поля будет равен сумме потенциалов электрических полей каждого заряда в отдельности

. (1.13)

Принимая во внимание понятие потенциала электрического поля, для работы электрических сил из получим фундаментальное соотношение

.

 

Связь напряженности и потенциала

Иначе

 

,

.

.

Сравнивая, левые и правые части приведенной формулы, приходим к выводу о том, что:

.

 

Представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего возрастания потенциала. Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Поток вектора

 

Теорема Остроградского- Гаусса

Плотность заряда:

 

линейная

 

поверхностная

 

обьемная

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Равномерно заряженная бесконечная плоскость

1.

Cn

Две равномерно заряженные плоскости.

3. Равномерно заряженный бесконечный цилиндр.

Ф = Ф бок + 2 Ф осн = E Sбок cos 0` + 2 E (1) S осн cos90`= E 2 ПrL +0

E

r

R

Равномерно заряженный шар

Связь напряженности электрического поля

С его потенциалом

Каждая точка электрического поля характеризуется напряженностью и потенциалом. Между ними существует тесная связь, которую можно установить следующим образом.

Элементарная работа, совершаемая силами электрического поля по перемещению электрического заряда, определяется соотношением

,

Из которого следует вывод о том, что

.

Учитывая, что потенциал и напряженность являются функциями координат, приведенное соотношение можно представить в виде

.

Сравнивая левые и правые части приведенной формулы, приходим к выводу о том, что фундаментальная связь напряженности и потенциала может быть представлена соотношениями:

(1.15)

Или в боле компактном виде

Математическая операция, представленная соотношениями (1.16) и. (1.17), именуется градиентом от скалярной функции . представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего возрастания потенциала. Знак «минус» указывает на то, что вектор напряженности электрического поля направлен в сторону убывания потенциала.

Примеры расчета электрических полей

Из приведенной формулы следует, что эквипотенциальные поверхности параллельны заряженной плоскости, и что разность потенциалов между эквипотенциальными поверхностями растет линейно с расстоянием между ними.

Представим графически структуру электрического поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости, несущей положительный и отрицательный за
ряды

Аналогичную структуру имеет гравитационное поле Земли вблизи ее поверхности. Вектором напряженности гравитационного поля является ускорение свободного падения , как сила, действующая на единичную массу. Потенциалом гравитационного поля является величина, определяемая потенциальной энергией единичной массы

.

Стремится к нулю

“ ДИВЕРГЕНЦИЯ “ - это родник в лесу, а поток это количество воды прошедшее через поперечное течение русла реки

- оператор Набла

Часть II

В природе существуют два вида электрических зарядов: положительные и отрицательные. Ими обладают элементарные частицы - электроны, протоны, позитроны и др. В телах всегда имеются заряды обоих знаков, которые компенсируют друг друга. На макроскопическом уровне положительно заряженное тело характеризуется недостатком отрицательных электрических зарядов (электронов), а отрицательно заряженное тело – их избытком.

Принято считать, что стеклянная палочка, потертая шелком, заряжается положительно, а эбонитовая палочка, потертая мехом,- отрицательно.

При электризации тел происходит перераспределение зарядов (свободных электронов). В результате электризуются оба тела, одно положительно, а другое – отрицательно. Количество же зарядов (положительных и отрицательных) при этом остается неизменным.

В процессе электризации проявляет себя один из фундаментальных законов природы - закон сохранения электрических зарядов. Он утверждает, что в электрически изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов является постоянной величиной.

,

Дискретен. 1,6 10^-19 Кл.

Такой заряд имеют электрон, протон и другие элементарные частицы. Наличие у тел электрического заряда проявляется во взаимодействии с другими заряженными телами. При этом тела, заряженные одноименно, отталкиваются, а заряженные разноименно – притягиваются.

Покоящийся электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле, действующее на другие заряды. Движущийся заряд, кроме этого, создает магнитное поле, которое действует на другие движущиеся заряды. Таким образом, взаимодействие зарядов осуществляется через «посредника», которым является электромагнитное поле. Скорость распространения электромагнитного поля равна скорости света в вакууме.

Согласно представлениям классической физики (теории близкодействия), взаимодействие между телами всегда осуществляется посредством тех или иных полей: гравитационное взаимодействие - посредством гравитационного поля, электромагнитное взаимодействие - посредством электромагнитного поля и т.д. Поле представляет собой особый вид материи. Оно характеризуется энергией, массой, импульсом и другими величинами.

Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей

Взаимодействия электрических зарядов характеризуется установленным в 1785 г. законом Кулона, согласно которому сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии, соединяющей центры зарядов:

,

Здесь q₁ и q₂ – величины взаимодействующих зарядов;

r – расстояние между зарядами;

– единичный вектор, имеющий направление радиус-вектора заряда;

e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Нм²/Кл²

Силовой характеристикой электрического поля служит векторная физическая величина , называемая напряженностью поля.

Величина напряженности электрического поля численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

Напряженность электрического поля точечного заряда q определяется формулой

.

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд, помещенный в данную точку поля.

В системе единиц СИ напряженность электрического поля измеряется в Н/Кл или В/м. Сила, действующая на электрический заряд, определяется формулой

.

Если электрическое поле создано не одним, а несколькими зарядами, то напряженность результирующего поля будет равна векторной сумме напряженностей полей, созданным каждым зарядом в отдельности.

.

Электрические поля можно изображать графически с помощью силовых линий. Силовой линией электрического поля, называют линию, касательная в каждой точке к которой совпадает с направлением вектора напряженности поля в данной его точке. По густоте силовых линий можно судить о величине напряженности электрического поля в данном месте пространства.

Различают однородное и неоднородное электрическое поле. Характер распределения силовых линий однородного электрического поля, порождаемого двумя параллельными заряженными плоскостями, представлен на рис. 2. Силовые линии неоднородного электрического поля двух точечных зарядов приведены на рисунке 1.

 

Примеры расчета электрических полей простейших систем электрических зарядов.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

 

 

1. Равномерно заряженная плоскость

2.

Cn

 

Ф = 2 Ф (1) + 4 Ф (2) = 2 E S + 4 Eфсos90 ` = 2ES

 

 

 

2. Две равномерно заряженные плоскости.

 

 

 

 

3. Равномерно заряженный бесконечный цилиндр.

 

 

 

Ф = Ф бок + 2 Ф осн = E Sбок cos 0` + 2 E (1) S осн cos90`= E 2 ПrL +0

 

 

E

 

r

R

 

 

4. Равномерно заряженный шар

 

Если сфера радиусом центрально симметрично окружает шар, то

Или

 

 

 

 

По поводу термина электростатического смещения:

 

Е=0

++++++++++

Электрическое смещение - физическая величина численно равная величине заряда “сместившегося “ изнутри проводника к поверхности на единицу поверхности.

 

 

 

 

Проведем оценку структуры электрического поля бесконечно протяженной, однородно заряженной плоскости. Для расчета напряженности электрического поля заметим, что силовые линии электрического поля от бесконечно протяженной плоскости будут перпендикулярны этой плоскости. Чтобы воспользоваться теоремой Остроградского-Гаусса (I-м законом электродинамики) выделим на плоскости площадку DS и построим на ней замкнутую цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны линиям вектора . Поток вектора через замкнутую поверхность равен заряду, находящемуся внутри этой поверхности

Поток вектора через цилиндрическую поверхность можно представить двумя слагаемыми

.

Очевидно, что поток вектора через боковую поверхность равен нулю, а поток вектора через основания цилиндра будет равен

,

где напряженность поля, например, в точке , принадлежащей основанию цилиндра. Теперь из теоремы Остроградского-Гаусса для напряженности получим

.

Принимая во внимание, что величина характеризует поверхностную плотность заряда, для напряженности электрического поля равномерно заряженной бесконечно протяженной плоскости получим следующую формулу

Из полученной формулы следует, что электрическое поле, бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости является однородным. На любом расстоянии от плоскости вектор напряженности имеет одну и ту же величину и направление, перпендикулярное плоскости.

Чтобы найти потенциал в каждой точки поля, воспользуемся соотношением, связывающим его с напряженностью поля

Если ось направить вдоль вектора напряженности поля , то можно получить

.

Интегрируя последнее выражение, для разности потенциалов между точками электрического поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости получим

.

Из приведенной формулы следует, что эквипотенциальные поверхности параллельны заряженной плоскости, и что разность потенциалов между эквипотенциальными поверхностями растет линейно с расстоянием между ними.

Представим графически структуру электрического поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости, несущей положительный и отрицательный за
ряды

Аналогичную структуру имеет гравитационное поле Земли вблизи ее поверхности. Вектором напряженности гравитационного поля являетсяускорение свободного падения , как сила, действующая на единичную массу. Потенциалом гравитационного поля является величина, определяемая потенциальной энергией единичной массы

.

Используя теорему Остроградского – Гаусса, легко показать, что электрическое поле равномерно заряженной сферы за пределами сферы будет иметь вид

Если заряд сферы распределен равномерно по ее поверхности, то напряженность электрического поля внутри сферы будет равна нулю, а потенциал точек внутри сферы будет одинаковым, равным потенциалу ее поверхности. Если радиус сферы равен , то ее потенциал определится формулой

Величина напряженности электрического поля вблизи поверхности сферы может быть представлена соотношением

,

где - поверхностная плотность заряда, распределенного по поверхности сферы.

Используя теорему Остроградского-Гаусса, подсчитаем напряженность и потенциал электрического поля, созданного бесконечно протяженной равномерно заряженной нитью. Очевидно, что силовые линии электрического поля перпендикулярны нити. Поэтому в качестве поверхности удобно выбрать цилиндрическую поверхность сосную с нитью. Поток вектора через выбранную поверхность будет определяться потоком только через боковую поверхность. Поток через основания цилиндра равен нулю. Учитывая это, получим

Принимая во внимание, что величина характеризует линейную плотность заряда, для напряженности электрического поля бесконечно протяженной равномерно заряженной нити получим следующую формулу

.

Для получения формулы для разности потенциалов в электрическом поле нити, заметим, что

.

Интегрируя приведенное выражение, для разности потенциалов получим

.

Разность потенциалов называют напряжением. В Международной системе единиц - СИ потенциал и разность потенциалов (напряжение) измеряют в вольтах:

.

С учетом этого ранее приведенные формулы для разности потенциалов между двумя эквипотенциальными поверхностями можно представить в виде:

1. В однородном электрическом поле напряжение и напряженность связаны между собой соотношениями:

.

Поэтому напряженность электрического поля измеряют также в .

2. В сферически симметричном поле:

.

3. В поле с цилиндрической симметрией (бесконечно протяженной заряженной нити):

, .

Принимая во внимание формулу для работы электрических сил

,

введем новую единицу для работы и энергии. Это электрон-вольт – 1эВ=1,6 10^-19Дж. 1эВ равен работе поля по перемещению электрического заряда, равного заряду электрона, между точками поля с разностью потенциалов 1 В.

 

 

2.1.2. Лекция 2. Электростатика. Электрическое поле в вакууме.

План:

2.1. Электризация тел. Законы сохранения электрического заряда и Кулона.

2.2. Основные характеристики электрического поля: напряженность и потенциал.

2.3. Принцип суперпозиции электрических полей.

2.4. Напряженность электрического поля как градиент его потенциала.

2.5. Работа электрического поля по перемещению электрического заряда.

 

2.1. Электризация тел. Законы сохранения электрического заряда и Кулона.

 

Электрический заряд - физическая величина, характеризующая свойство тел или частиц вступать в электромагнитные взаимодействия и определяющая значения сил и энергий при таких взаимодействиях.

Электрические заряды делятся на положительные и отрицательные.

Закон сохранения электрического заряда - физический закон, в соответствии с которым в замкнутой системе взаимодействующих тел алгебраическая сумма электрических зарядов (полный электрический заряд) остается неизменной при всех взаимодействиях.

Закон сохранения заряда гласит, что алгебраическая сумма зарядов электрически замкнутой системы, сохраняется.

q1+q2+q3+…qn = const

Требование релятивистской инвариантности приводит к тому, что закон сохранения заряда имеет локальный характер: изменение заряда в любом наперёд заданном объёме равно потоку заряда через его границу. В изначальной формулировке был бы возможен следующий процесс: заряд исчезает в одной точке пространства и мгновенно возникает в другой. Однако, такой процесс был бы релятивистски неинвариантен: из-за относительности одновременности в некоторых системах отсчёта заряд появился бы в новом месте до того, как исчез в предыдущем, а в некоторых — заряд появился бы в новом месте спустя некоторое время после исчезновения в предыдущем. То есть был бы отрезок времени, в течение которого заряд не сохраняется. Требование локальности позволяет записать закон сохранения заряда в дифференциальной и интегральной форме.

Вспомним, что плотность потока электрического заряда есть просто плотность тока. Тот факт, что изменение заряда в объёме равно полному току через поверхность можно записать в математической форме:

Здесь Ω — некоторая произвольная область в трёхмерном пространстве, — граница этой области, ρ — плотность заряда, — плотность тока (плотность потока электрического заряда) через границу.

Переходя к бесконечно малому объёму и используя по мере необходимости теорему Стокса можно переписать закон сохранения заряда в локальной дифференциальной форме

Закон Кулона - основной закон электростатики, выражающий зависимость силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов от расстояния между ними.

Два неподвижных точечных заряда взаимодействуют с силой прямо пропорциональной произведению величин этих зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и диэлектрической проницаемости среды, в которой находятся заряды.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен необходимы:

3. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров.

4. их неподвижность. Иначе уже надо учитывать возникающее магнитное поле движущегося заряда.

В векторном виде закон записывается следующим образом:

 

где e₀ = 8,85×10^-12 Ф/м – электрическая постоянная;

q₁, q₂ – величины взаимодействующих зарядов;

r_1,2 – расстояние между зарядами;

r₀ – единичный вектор, показывающий направление силы.

 

2.2. Основные характеристики электрического поля: напряженность и потенциал.

Для количественной характеристики электрического поля вводится в рассмотрение физическая величина, называемая напряженностью электрического поля.

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Она численно равна силе, действующей на положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.

Если электрическое поле создается точечным зарядом q, то согласно определению напряженность такого поля

. (1.3)

Напряженность электрического поля является его силовой характеристикой. Направление вектора E совпадает с направлением силы, действующей на заряд, помещенный в данную точку поля. Он направлен по радиальной прямой, проходящей через заряд и рассматриваемую точку поля от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный (рис. 1.2).

За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой точке, в которой на заряд, равный единице, действует сила, равная единице.

В системе СИ напряженность электрического поля измеряется в Кл/м или В/м.

Электростатический потенциал — скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, характеризующая потенциальную энергию поля, которой обладает единичный заряд, помещённый в данную точку поля.

Электростатический потенциал равен отношению потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине этого заряда. Напряжённость электростатического поля Е и потенциал φ связаны соотношением:

В СИ за единицу разности потенциалов принимают вольт (В). Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному вольту, если для перемещения между ними заряда в один кулон нужно совершить работу в один джоуль.

 

2.3. Принцип суперпозиции электрических полей.

Если электрическое поле создано системой точечных зарядов: q₁, q₂, q₃,........., то в произвольной точке пространства "А" каждый из них порождает свое собственное поле с соответствующей напряженностью: E₁, E₂, E₃,.......... Результирующее поле в этом случае будет характеризоваться результирующим вектором напряженности электрического поля:

Величину и направление результирующего вектора напряженности E можно определить правилами геометрического сложения. Таким образом, для электрических полей оказывается справедливым принцип суперпозиции.

 

2.4. Напряженность электрического поля как градиент его потенциала.

Градиент - вектор равный сумме произведений частных производных некоторой скалярной функции U=j()по переменным на их единичные векторы.в направлении быстрейшего изменения х,у,z некоторого скаляра, характеризующий быстроту этого изменения.

Напряженность электростатического поля равна градиенту его потенциала:

E= - gradφ.

 

В однородном электрическом поле:

- единица измерения напряженности электрического поля.

 

2.5. Работа электрического поля по перемещению электрического заряда.

Если в электростатическом поле точечного заряда q из точки 1 в точку 2 вдоль произвольной траектории перемещается другой точечный заряд q_o, то сила, приложенная к заряду, совершает работу. Работа силы F на элементарном перемещении dl равна

где dr = dl×cosa.

Работа при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2