Циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L (или просто циркуляцией вектора напряженности магнитного поля) называют интеграл

.

Окружность:

.

С учетом того что напряженность магнитного поля от бесконечно длинного проводника с током , а , имеем

.

Таким образом,

. (2.2)

Если внутри замкнутого контура находятся n токов, то

 

(2.3)

Если ток протекает вне контура (рис. 2.2), то в этом случае можно записать

(2.4)

Соотношение справедливо и в том случае, когда контур и проводник имеют произвольную форму. Если ток направлен «на нас», то вектор направлен «против часовой стрелки» (рис. 2.3). В этом случае и . В результате получим

. (2.5)

Если же контур охватывает проводников с токами, направленными в разные стороны, то, учитывая, что от положения проводника внутри контура не зависит циркуляция , можем мысленно собрать все проводники в «жгут», толщина которого в силу конечности мала. По «жгуту» протекает ток, равный алгебраической сумме токов отдельных проводников (рис. 2.4).

Теорема о циркуляциинапряженностимагнитного поля или законом полного тока в интегральной форме.

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, называется. Таким образом, из закона полного тока вытекают следующие следствия:

а) если направление обхода контура и направление тока в проводнике не связаны между собой правилом правого винта, то значение

,

сохранив величину, изменит знак;

б) если контур, расположенный в магнитном поле, не охватывает ток или алгебраическая сумма токов внутри замкнутого контура равна нулю, то

.

Зная связь между векторомнапряженности H и вектором индукции B магнитного поля, можно записать закон полного тока в интегральной форме для циркуляции вектора индукции:

. (2.6)

Так как , , то магнитному полю нельзя приписать какой-либо потенциал, а это означает, что магнитное поле является вихревым, а не потенциальным.

2.2. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей

2.2.1. Напряженность поля бесконечно длинного соленоида

Соленоидом называют катушку цилиндрической формы из провода, витки которой намотаны в одном направлении и прилегают плотно друг к другу.

Магнитное поле соленоида представляет собой результат сложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось (рис. 2.6).

Внутри соленоида силовые линии каждого отдельного витка имеют одинаковое направление. Поэтому принято считать поле бесконечно длинного соленоида (такого, у которого диаметр гораздо меньше длины – d<<L) однородным, существующим только внутри его.

Рассчитаем напряженность магнитного поля внутри соленоида, длина которого L, радиус витка R, число витков N, сила тока I. Будем считать, что в любой точке соленоида вектор H направлен параллельно оси.

Для расчета напряженности воспользуемся законом полного тока в виде

. (2.7)

Выберем замкнутый контур прямоугольной формы (рис. 2.7), участок 1-2 которого расположен внутри соленоида вдоль его оси.

Левую часть выражения (2.7) можно представить в виде

,

где , так как H перпендикулярен участку 2-3;

, так как H перпендикулярен участку 4-1;

, так как участок 3-4 находится вне соленоида.

Следовательно,

.

Правая часть выражения (2.16) может быть представлена так:

,

где n - число витков на единице длины соленоида;

- длина участка;

I - величина тока в соленоиде.

Таким образом, имеем

.

Откуда

. (2.8)

Формула (2.8) согласуется с формулой, полученной с применением закона Био-Савара-Лапласа.

Из полученного результата действительно видно, что напряженность магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида имеет одно и тоже значение, а следовательно, оно действительно однородно.

Таким образом, действительно внутри бесконечно длинного соленоида напряженность магнитного поля практически везде одинакова. Она направлена вдоль оси соленоида в соответствии с правилом правого винта.

Интегрируя по всем виткам, для индукции магнитного поля внутри соленоида окончательно получим

.

В случае бесконечно протяженного соленоида , . Поэтому индукция и напряженность магнитного поля внутри бесконечно протяженного соленоида будут равны

,. (1)