На контур с током в магнитном поле

Закон Био-Савара-Лапласа ,

где - магнитная постоянная;

-магнитная проницаемость среды.

Магнитная индукция:

в центре кругового тока ;

поля бесконечно длинного прямого тока ;

поля, созданного отрезком проводника с током ,

поля бесконечно длинного соленоида ,

где и — углы между отрезком проводника и

линией, соединяющей концы отрезка с точкой поля;

R — радиус кругового тока;

r — кратчайшее расстояние до оси проводника;

n — число витков на единицу длины соленоида.

Сила взаимодействия двух прямолинейных ,

Бесконечно длинных параллельных токов

На единицу их длины

где r — расстояние между токами и .

Работа по перемещению контура с током ,

В магнитном поле

где Ф — магнитный поток через поверхность контура.

Магнитный поток однородного магнитного ,

Поля через площадку S

где — угол между вектором и

нормалью к площадке.

Закон электромагнитной индукции ,

где N — число витков контура.

Потокосцепление контура с током ,

где L — индуктивность контура.

Электродвижущая сила самоиндукции .

Индуктивность соленоида ,

где V — объем соленоида;

n — число витков на единицу длины соленоида

Мгновенное значение силы тока в цепи,

Обладающей сопротивлением

R и индуктивностью L

Энергия магнитного поля

Объемная плотность энергии магнитного поля

Примеры решения задач.

Пример 18. Три точечных заряда Q₁ = Q₂ = Q₃ = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q₄ нужно помесить в центр треугольника, чтобы указанная система находилась в равновесии.

Решение. Все три заряда, расположенные по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой из зарядов, например Q₁, находился в равновесии. Заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 6):

F

= 0, (1)

Рис. 6

где F₂, F₃, F₄ – силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁ заряды Q₂,Q₃,Q₄;

 

F- равнодействующая сил F₂ и F₃.

F

Так как силы F и F₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F - F₄ = 0, откуда F = F₄. Выразим в последнем равенстве F через F₂ и F₃ и учитывая, что F₂ = F₃, получим:

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q₁ = Q₂ = Q₃, найдем:

,

откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, cos α = cos 60⁰ = 1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид:

.

Подставим числовые значения:

 

Пример 19. Два заряда 9нКл и -7 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной Определить напряженность и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Р е ш е н и е. 1.Напряженность электрического поля в точке A (рис. 7) является геометрической (т. е. векторной) суммой напряженностей и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

Модуль результирующий напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и :

. (1)

Напряженность электрического поля точечного заряда выражается формулой

(2)

где Q – заряд, создающий поле;

- электрическая постоянная;

- диэлектрическая проницаемость среды;

r – расстояние от расчётной точки поля до заряда, его создающего.

Так как то имеем:

(3)

Поскольку преобразуем:

(4)

Подставив выражение (3) и (4) в (1), получим:

(5)

Выразим числовые значения величин в СИ:

Проверим формулу (5):

Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим

Примечание. В расчётную формулу (5) подставлены модули зарядов, поскольку их знаки учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов и полей, создаваемых зарядами и соответственно:

(6)

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой:

(7)

В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив формулу (7) в (6) и учитывая, что получим:

. (8)

Подставив числовые значения величин в формулу (8), вычислим:

	Рис.8

 

Пример 20. Электрическое поле создается двумя зарядами Q₁ = 4мкКл и Q₂ = -2 мкКл, находящимися на расстоянии а = 0,1 м друг от друга. Определить работу А_1,2 сил поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 8)

Решение. Для определения работы А_1,2 сил поля воспользуемся соотношением

.

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ₁ и φ₂ точек 1 и 2 поля:

;

.

Тогда

или

.

Проверим, даст ли правая часть равенства единицу работы,Дж:

Подставим числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 21. Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁ = 10⁶ м/с, чтобы скорость его возросла в n = 2 раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатического поля. Эта работа определяется произведением элементарного заряда е на разность потенциалов U:

. (1)

Работа сил электростатического поля в данном случае равна изменению кинетической энергии электрона:

, (2)

где Т₁ и Т₂- кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля;

m- масса электрона;

υ₁ и υ₂- начальная и конечная скорость его.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим:

,

где .

Отсюда искомая разность потенциалов равна:

.

Произведем вычисления:

.

 

Пример 22. Конденсатор емкостью С₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С₂ = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образование искры,

, (1)

где W₁- энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора;

W₂- энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле:

, (2)

где С- емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W₁ и W₂ по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим:

, (3)

где U₂- разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U₂ следующим образом:

. (4)

Подставив выражение U₂ в формулу (3), найдем:

или

.

Произведем вычисление:

.

 

Пример 23. Потенциометр сопротивлением R = 100 Ом подключен к батарее с ЭДС ε = 150В и

внутренним сопротивлением R_i = 50 Ом. Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением R_v = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Решение. 1. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 9), определим по формуле:

,

где R₁- сопротивление, параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;

I₁- суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока I₁ найдем по закону Ома для полной цепи:

, (1)

где R_e сопротивление внешней цепи. Это сопротивление есть сумма двух сопротивлений:

(2)

Сопротивление R₁ найдем по формуле параллельного соединения проводников , откуда

.

Подставив в формулу (1) выражение R_e по (2), найдем:

.

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:

;

;

.

2. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметра равна произведению силы тока I₂ на половину сопротивления потенциометра:

, (3)

где I₂ - сила тока в цепи при отключенном вольтметре. Ее определим по формуле:

.

Подставив выражение I₂ в формулу (3), найдем:

.

Произведем вычисления:

.

 

Пример 24. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени Δt = 2 с по линейному закону от I₀ = 0 до I = 6 А (рис 10). Определить теплоту Q₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q₂,выделевшиюся за вторую, а также найти отношение Q₂/ Q_1.

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде:

 

. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В данном случае

, (2)

где k-коэффициент пропорциональности, характеризующий скорости изменения силы тока:

.

С учетом выражения (2) формула (1) примет вид:

. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени Δt, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t₁ и t₂:

.

Произведем вычисления:

Следовательно,

,

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Пример 25. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 11), отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии r₁ = 5 см, от другого —r₂ = 12 см.

 

Решение. Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукции B₁ и B₂ полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометрически:

В=В₁ + В₂.

Модуль вектора В может быть найден по теореме коси­нусов:

, (1)

где α — угол между векторами В₁ и В₂.

Магнитные индукции B₁ и В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁и г₂ от проводов до точки А:

;

Подставляя выражения B₁и B₂в формулу (1) и вынося за знак корня, получаем

Вычислим cos α. Заметив, что (как углы c соответственно перпендикулярными сторонами), по теореме косинусов запишем

где d — расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

Пример 26. Длинный провод с током I= 50 А изогнут под углом . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 12). Расстояние d = 5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 13). В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ­ке А будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукции В₁ и В₂ полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. В=В₁ + В₂. Магнитная индукция В ₂ равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лап­ласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода,

([dlr])=0.

Магнитную индукцию B₁ найдем, воспользовавшись соотношением

,

где r₀ — кратчайшее расстояние от провода 1до точки А (рис. 13).

В нашем случае (провод длинный), (cosα₂=cos(2π/3)=-1/2). Расстояние Тогда магнитная индукция

Так как B = B₁(B₂=0), то

Вектор В сонаправлен с вектором В₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 13 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Произведем вычисления:

Пример 27. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 14). По проводам текут токи I₁ = 80 А и I₂=60 А. Расстояние d, между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке A, одинаково удаленной от обоих проводов.

Решение. В соответствии с принципом суперпо­зиции магнитных полей магнитная индукция В поля, создаваемого токами I₁и I₂, определяется выра­жением

В = В₁ + В₂, где В₁ — магнитная индукция поля, созданного в точке А током I₁ ;В₂ — магнитная индукция по-, созданного в точке Атоком I₂.

Заметим, что векторы B₁ и В₂ взаимно перпен­дикулярны (их направле­ния находятся по правилу буравчика и изобра­жены в двух проекциях на рис. 15). Тогда модуль вектора В можно опреде­лить по теореме Пифа­гора:

,

где B₁и В₂ определяются по формулам расчета магнит­ной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

и

В нашем случае r₀ = d/2. Тогда

 

 

Произведем вычисления:

Пример 28. Бесконечно длинный провод изогнут так, как это изображено на рис. 16. Радиус R дуги окруж­ности равен 10см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током I=80 А, текущим по этому проводу.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей: . В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 17): два прямолинейных провода (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2)радиуса R. Тогда

 

где B₁, В₂ и Вз — магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

 

Так как точка О лежит на оси провода 1, то В₁ = 0 и тогда

Учитывая, что векторы В₂ и В₃ направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

Магнитную индукцию В₂ найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной кругового тока, поэтому

.

Магнитную индукцию В₃ найдем, воспользовавшись соотношением

В нашем случае r₀=R, α₁=π/2 (cos α₁=0), (cos α₂=-1).Тогда

Используя найденные выражения для В₂ и В₃, получим

 

или

 

Произведем вычисления:

Пример 29. По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5м каждый, находящимся на расстоянии d=20 см друг от друга, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства I₁ и I₂) текут в одном направлении. Ток I₁ создает в месте расположения второго провода (с током I₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 18) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции В₁ определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I₂ длиной d l действует в магнитном поле сила

Рис. 18

Так как вектор dl перпендикулярен вектору B₁ то sin (dlB) =1 и тогда

Подставив в это выражение B₁согласно (1), получим

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

Заметив, что I₁ = I₂ = I, получим

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

Произведем вычисления:

'

Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 18) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

Пример 30. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциа­лов U = 600 В, влетел в однород­ное магнитное поле с индукцией B = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Решение. Движение заря­женной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в маг­нитное поле перпендикулярно ли­ниям магнитной индукции v В. Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение а_n.

Согласно второму закону Ньютона,

(1)

 

где m — масса протона.

 

На рис. 19 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а_n и F_л сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус):

(2)

В скалярной форме Fл=Q vВ sinα. В нашем случае v В и sin α = 1, тогда F л= Q v В. Так как нормальное ускоре­ние а_n= v²/R, то выражение (2) перепишем следующим образом:

Отсюда находим радиус окружности:

R=mv/(QB) (3)

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

R=p/(QB)

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = ΔТ, или

Q(φ₁- φ₂)=T₂-T₁

где φ₁-φ₂ - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); Т₁ и Т₂ — начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (Т₁«0) и выразив кинетическую энергию Т₂ через импульс р, получим

QU=p²/(2m)

Найдем из этого выражения импульс и подставим его в формулу (3):

или

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

Пример 31. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В= 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса R=5см. Определить магнитный момент р_т эквивалент­ного кругового тока.

Решение. Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На

 

рис. 20 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками).

Движение электрона по окруж­ности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

где е — заряд электрона; Т — пе­риод его обращения.

Период обращения можно выра­зить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v/ (2лR). Тогда

I _экв=|е| v/(2πR) (1)

Зная I _экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

Рm=IэквS, (2)

где S — площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном (S = πR²).

Подставив I_экв из (1) в выражение (2), получим

Сократим на πR и перепишем это выражение в виде:

(3)

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом R окруж­ности, по которой он движется, соотношением R = mv/(QB) (см. пример 6). Заменив Q на │e│, найдем интересующую нас скорость v=\е\ВR/т и подставим ее в формулу (3):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А∙м²):

Произведем вычисления:

Пример 32. Электрон движется в однородном магнит­ном поле (В=10мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость v.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (α≠π/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис. 21, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору в(v‌‌) и перпендикулярную ему (v ). Скорость v в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Fл ) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (v‌‌ ‌ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v ‌ ‌ и равномерном движении по окружности со скоростью v

Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

Т=2πR/ v . (1)

Найдем отношение R/ v . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение а_п= v ² /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

или

где v =vsinα

Сократив (2) на v ., выразим соотношение

R/v (R/v =m/ B)

и подставим его в фор­мулу (1):

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

Произведем вычисления:

Модуль скорости v, как это видно из рис. 20, можно выразить через и :

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии, т.е. , откуда

.

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

Таким образом, модуль скорости электрона

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу — метр (м). Поэтому в квад­ратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

 

Пример 33. Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов U= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (Е= кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа - частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа - частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы: