Свободные колебания в контуре без активного сопротивления

Электромагнитные колебания создаются с помощью электрических колебательных систем. Простейшей колебательной системой является колебательный контур. Колебательные контура широко используются в радиопередающих и радиоприёмных устройствах. С их помощью в радиопередатчиках создаются электромагнитные колебания с требуемой частотой, которые модулируются управляющими электрическими сигналами. В радиоприёмниках колебательные контуры осуществляют частотную избирательность, т. е. выделение ЭДС принимаемого сигнала из множества ЭДС, наводимых приемной антенной посторонними радио излучениями. Свободные или собственные колебания, возникают в контуре из-за некоторого первоначального запаса энергии, полученной от постороннего источника.

Если к катушке индуктивности подключить предварительно заряженный конденсатор, то конденсатор начнет разряжаться через катушку.

По мере разряда конденсатора напряжение на конденсаторе уменьшается. В момент включения t₀ ток через катушку равен 0, но с течением времени он возрастает, не смотря на то, что напряжение на конденсаторе уменьшается (т.е. еще быстрее уменьшается ).

В тот момент, когда напряжение на конденсаторе уменьшиться до 0(t₁) ток достигает своего максимума.

Длительность времени до момента t₁ зависит от емкости конденсатора и индуктивности катушки.

По мере того, как возрастает ток через катушку, увеличивается и магнитное поле в катушке. В момент времени t₁ энергия магнитного поля наибольшая ().

С момента времени t₁ ток не исчезает, а плавно уменьшается, существуя за счет энергии магнитного поля запасенной в катушке.

Этот ток является зарядным для конденсатора.

Если потери на активных сопротивлениях очень малы, то конденсатор перезарядится до такого же напряжения (U₀), которое было на нем первоначально в момент времени t₀.

Причем полярность напряжения на конденсаторе изменится, так как направление тока при перезарядке такое же, как при разряде.

Перезарядка длится до момента времени t₂,пока вся энергия магнитного поля не перейдет в энергию электрического поля конденсатора. Далее конденсатор опять начинает разряжаться через катушку, как и в момент включения t₀, но направление тока будет противоположным, так как полярность конденсатора в момент t₂ противоположна полярности в момент t₀.

После разряда опять происходит заряд, таким образом энергия переходит от C(CU²/2) к L(LI²/2); и от L к С т.е. возникают колебания.

Математический анализ показывает, что напряжение и ток в контуре состоящем из L и С изменяются по синусоидальному закону.

Промежуток времени от t₀ до t_n составляет период возникших синусоидальных колебаний. Период и ω зависит от величины С и L. Частота возникающих колебаний называется резонансной частотой контура.

В контуре энергия С CU²/2 переходит к L LІ²/2 и наоборот, значит CU²/2 = LI²/2 или CU² = LI²*, сопротивление катушки по переменному току зависит от частоты:

X_L = ωL,

тогда как в контуре I=U/ωL. Если подставить это в *, то получится

CU² = L(U/ωL)² → CU² = LU²/ω²L² → ω² = 1/LC →

ω = 1 / ─ резонанс частоты контура.

Из звездочки можно вывести сопротивление контура:

CU² = LI² → U²/I² = L/C → U/I = = Z – волновое сопротивление контура.

В реальных контурах имеются потери энергии на активных сопротивлениях, поэтому при каждой последующей перезарядке напряжение уменьшается на какую-то величину, зависящую от сопротивления потерь.

Колебания затухают по экспоненциальному закону (а не линейно, так как с уменьшением амплитуды уменьшаются и потери).

Чем больше потери в контуре (чем больше r), тем быстрее затухают колебания.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи, составленной из конденсатора и катушки индуктивности, в которых не происходит потери энергии.

Разомкнув ключ К₂, замкнем ключ К₁ и зарядим конденсатор от источника по­стоянного тока. Затем разомкнем ключ К₁ и замкнем ключ К₂. Конденсатор нач­нет разряжаться через катушку. По­скольку до этого в катушке индуктивно­сти тока не было, то вследствие дейст­вия ЭДС самоиндукции ток i_L увеличи­вается постепенно от нулевого значения, а напряжение на конденсаторе u_C уменьшается. При этом запас энергии электрического поля конденсатора уменьшается, а запас энергии магнит­ного поля катушки увеличивается.

Когда напряжение на конденсаторе упадет до нуля, вся энергия электриче­ского поля конденсатора перейдет в энергию магнитного поля катушки, ко­торая достигнет максимума. Одновре­менно ток, проходящий через катушку, также достигнет максимального значе­ния. Так как ток в катушке не может прекратиться скачком, то он спадает постепенно, сохраняя прежнее направле­ние, и перезаряжает при этом конденса­тор, т. е. заряжает его пластины заря­дами противоположного знака по срав­нению с теми, которые были на них до этого. Когда же ток спадет до нуля, вся энергия магнитного поля катушки перейдет в энергию электрического поля конденсатора и напряжение на конден­саторе станет таким же, каким оно было в начале процесса, но с обратным знаком. Затем процесс повторится, но разряд уже будет проходить в противо­положном направлении.

Таким образом, в цепи происходят незатухающие электрические колебания с поочередным переходом энергии элек­трического поля конденсатора в энер­гию магнитного поля катушки и обрат­но. Поэтому цепь, состоящую из кон­денсатора и катушки, называют колебательным контуром. Так как потерь в идеальном контуре нет, то этот процесс продолжается бесконечно. Аналогичные явления можно наблюдать в механических колебательных систе­мах, например при колебаниях идеаль­ного маятника, в котором его потен­циальная энергия в верхнем положении переходит в кинетическую энергию при нижнем положении и наоборот.

Рассмотренный процесс колебаний в контуре носит название свобод­ных колебаний, так как он проте­кает без влияния внешней возбуждаю­щей силы только благодаря некоторому запасу энергии в одном из элементов цепи. Ток и напряжение в контуре изменяются по си­нусоидальному закону, но со сдвигом по фазе на 90⁰.

Из равенства максимальных энер­гий конденсатора U²_mcC/2 и катушки І²_mcL/2, где U_mc — амплитуда напря­жения на конденсаторе; I²_mL — ампли­туда тока в катушке; С — емкость кон­денсатора и L — индуктивность катуш­ки, следует

Эта величина называется характе­ристическим сопротивлением контура. Данное отношение ампли­туды напряжения на элементах конту­ра к амплитуде протекающего через них тока определяется реактивными сопротивлениями этих элементов. Поскольку на катушке и конденсаторе действуют одинаковые по амплитуде напряжения, и через них протекает одинаковый ток, то их сопротивления равны. Если при сво­бодных колебаниях сопротивления кон­денсатора и катушки равны, то в конту­ре может проходить ток только опреде­ленной частоты, при которой

где ω₀ — круговая частота свободных или, как их называют, собственных колебаний контура. Из этого выражения получаем формулу для определения кру­говой частоты собственных колебаний контура:

Здесь ω — в радианах в секунду, L — в генри и С — в фарадах. Тогда харак­теристическое сопротивление контура можно записать в виде

Частота собственных колебаний (в герцах) контура может быть найдена по формуле

а период колебаний в контуре

Увеличение периода колебаний с увеличением индуктивности и емкости контура объясняется тем, что чем боль­ше индуктивность контура, тем медлен­нее происходит изменение тока, и чем больше емкость, тем больше времени требуется на перезарядку конденсатора.