Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Магнитное поле прямого отрезка с током
Магнитное поле, создаваемое отрезком прямого провода, обладает осевой симметрией. При этом его силовыми линиями будут окружности, центры которых лежат на оси симметрии. Одна из силовых линий показана на рис. 6.13. Найдем магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком прямого провода. Для этого применим закон Био - Савара -Лапласа (6.1). Векторные элементы dl различных участков провода и соответствующие им векторы R, заканчивающиеся в произвольной точке Р пространства, лежат в плоскости, которая содержит в себе эту точку и провод. Поэтому согласно определению векторного произведения все векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых в точке Р различными элементами dl провода, коллинеарны. Вследствие этого модуль В вектора В равен сумме модулей векторов dB: B = (6.34)
dB = μoIdl sin a / (4p R 2) (6.35)
где a - угол между векторами dl R; dl - модуль вектора dl.
Рис. 6.13. К расчету индукции магнитного поля отрезка тока
Из треугольника АА'Р на рис. 6.13 найдем, что расстояние R от точки А до точки Р и расстояние l от точки А до точки А' таковы, что R = a/sin a, l = a ctg a. При этом dl = a da/ sin2 a Подстановка этих выражений в формулу (6.35) преобразует ее к виду
dB = μoI sin ada / (4p a)
Найдем модуль В вектора В по формуле (6.34):
В(x) = μoI/(4p a )
где a1 и a2 - значения угла а, соответствующие концам рассматриваемого отрезка провода. Интегрирование по формуле Ньютона - Лейбница приводит к выражению
магнитная индукция поля в точке. a1 =0 a2=p. В этом случае формула В = μoI/(4p a ) Ротор. Теорема Стокса.
Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора по контуру Г. Циркуляция = Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г1 и Г2. Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.
Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса
Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат. Знак минус ставится тогда, когда направления cx не совпадает с направлением обхода. Учитывая, что , получим: Аналогично для сторон квадрата 2 и 4: , Тогда циркуляция по квадрату будет равна: , где S – площадь квадрата. Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат: (1*) (2*) (3*) Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат. Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид: Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру: Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром. Отметим, что Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (набла) Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат. Формула Стокса.
По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :
(36)
Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.
(37)
где - положительная нормаль к элементу поверхности .
Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S:
.
Осуществив предельный переход, при котором все стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:
(38) Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.
Теорема Стокса Пусть в пространстве задано векторное поле а — а(г). Построим некоторую поверхность и вырежем из нее посредством контура С часть S (рис. 6.5). Про эту часть поверхности говорят, что она натянута на контур С. Про контур С можно сказать, что он ограничивает поверхность 5. Вырежем из поверхности 5 бесконечно малый прямоугольник площадью dS. Построим декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало О совпало с одной из вершин прямоугольника, а координатные оси х и у проходили через его стороны (рис. 6.14). Другие вершины прямоугольника обозначим А, В и С. Пусть стороны О А и ВС этого прямоугольника, параллельные оси х, равны dx, а стороны АС и СО, параллельные оси у, - dy. При этом вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: A(dx,0,0), B(dx,dy,O), C(O,dy,O). sin a da (6.36) Для бесконечного провода а\ = 0 и (6.36) принимает вид Вычислим циркуляцию ladf вектора а по контуру С\ = ОАВСО. Направим нормаль п к плоскости прямоугольника С\ вдоль оси z где к - единичный орт, направленный вдоль оси z. элемент поверхности будет dS = dx dy - площадь прямоугольника. z k■ Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса Будем обходить контур С\ так, чтобы направление обхода, т.е. направление векторов dl, было связано с направлением нормали п правилом правого винта. В таком случае векторный элемент контура будет dl = Циркуляция вектора а по прямоугольнику С\ равна сумме криволинейных интегралов по его сторонам: dx г на О А, dy j на АВ, — dx -г на ВС, -dy- j на СО. -dy- j на СО dS = dx dy - площадь прямоугольника. z k ■ ■ Так как стороны прямоугольника С\ бесконечно малы, эти интегралы с большой точностью будут равны следующим произведениям: / аЖ = ах(0, 0, O)dx, I аЖ = ay(dx, О, 0) dx,
А АВ аЖ = -ах(0, dy, 0)dx, f аЖ = - ау(0, О, 0)dx. Подстановка этих произведений в формулу (6.38) дает 1аЖ= - (ах(0, dy, 0) - ах(0, 0, 0)) dx + (ay(dx, 0, 0) - а„(0, 0, 0)) dy. -»w- a,(0, dy, 0) - oe(0, 0, 0) = -~ dy, >,., t a,,(efa, 0, 0) - а„(0, 0, 0) = -£*- dx, дач дах дх ду Ротор вектора а есть вектор, декартовы координаты которого определены следующей формулой: i j к д_ д_ д_ дх ду dz ах ау az Согласно этой формуле проекция вектора rot а на ось z будет да,, да (rota)* = -г. 9z ду Теперь с учетом формулы (6.37) выражение (6.39) можно записать так: 1аЖ = rota dl. (6.40) Таким образом, циркуляция вектора а по бесконечно малому прямо Произвольную поверхность S можно разрезать на множество бесконечно малых прямоугольников С{. Докажем, что сумма циркуляции вектора а по этим прямоугольникам равна циркуляции вектора а по контуру С, который ограничивает поверхность S (рис. 6.5): Так как получим rot a = dxdy rot a = 2 Ф Sdl = Ф a dl Рассмотрим два соприкасающихся прямоугольника С\ и Съ (рис. 6.15, а). Криволинейные интегралы по совпадающим участкам контуров равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Поэтому их сумма равна нулю. Следовательно, справедливо равенство I аЖ + IаЖ = I аЖ, где С - контур, огибающий оба прямоугольника С\ и Сг (рис. 6.15, б"). С2
A a) iVL б) Рис. 6.15. К выводу теоремы Стокса ц
Аналогично, в левой части равенства (6.41) взаимно уничтожаются криволинейные интегралы по совпадающим участкам прямоугольников и остается только интеграл по кривой С, окаймляющей поверхность S. Согласно соотношению (6.40) каждое слагаемое в левой части равенства (6.41) равно элементарному потоку вектора rot а через поверхность dSi, ограниченную прямоугольником С». Так как поверхность dSi есть элемент поверхности S, левая часть равенства (6.41) будет равна полному потоку вектора rot а через поверхность S. Таким образом, доказана теорема Стокса: (6.42) Согласно этой теореме циркуляция вектора а по произвольному замкнутому контуру С равна потоку ротора этого вектора через произвольную поверхность S, натянутую на этот контур (рис. 6.5), при условии, что направление обхода контура (т.е. направление вектора dl ) связано с направлением нормали п к поверхности S правилом правого винта.
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 312; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.9.7 (0.039 с.) |