Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Понятие базиса. Переход от одного базисного решения к другому

Поиск

Здесь нам понадобятся некоторые понятия линейной алгебры..

Векторы А 1, А 2, …, АS являются линейно-независимыми, если равенство k 1 A 1 +k 2 A 2 +…+kSAS =0 выполняется только при k 1 =k 2 =…=kS= 0. Признаком линейной независимости векторов является ненулевое значение определителя, составленного из этих векторов, так как однородная система имеет единственное (нулевое) решение только при таком определителе.

Если есть система линейно-независимых векторов, то любой другой вектор может быть выражен в виде их линейной комбинации и притом единственным образом:

Ap=a 1 A 1 +a 2 A 2 +…+aSAS, pÏ[1, S].

В канонической форме условия записываются в виде

(4.4)

Пусть система (4.4) имеет базисное решение:

(4.5)

Тогда из (4.4) следует

(4.6)

Так как система (4.6) совместна, то ее определитель не равен нулю и, значит, векторы, входящие в (4.6), являются линейно-независимыми. Для их обозначения введем следующее понятие: система m линейно-независимых векторов, соответствующих базисным переменным, называется базисом. Таким образом, каждой экстремальной точке соответствует своё базисное решение и свой базис.

Теперь, имея исходные базисное решение (4.5) и базис , построим новое базисное решение. Как следует из геометрических представлений, смежные вершины отличаются по составу базисных переменных только одной. Поэтому новое решение можно получить вводом в исходное небазисной переменной с одновременным переводом одной базисной переменной в небазисные.

Пусть вводимой будет переменная с индексом rÏ[1,m], принимающая в новом решении некоторое положительное значение

В новом решении, как в любом допустимом, условия (4.4) также должны выполняться, поэтому имеем:

(4.7)

Задача состоит в том, чтобы определить X (1) по X( 0). С этой целью сделаем несложные преобразования. Выразим вектор Ar через исходный базис:

Ar=A 1 a 1 r+A 2 a 2 r+…+Amamr .(4.8)

Так как известен базис, то известны (или находятся решением этой ситстемы) коэффициенты разложения air. Умножим левую и правую части равенства (4.8) на q:

qAr=qA 1 a 1 r +qA 2 a 2 r +…+qAmamr. (4.9)

Вычитая (4.9) из (4.6), получим:

или окончательно:

(4.10)

 

Сравнивая равенства (4.7) и (4.10), видим, что правые части равны, а левые содержат одну и ту же ситстему векторов. Поэтому коэффициенты при одноименных векторах должны совпадать. Приравнивая их, получаем искомые соотношения:

(4.11)

Однако решение (4.11) может быть недопустимым, если не оговорить возможные значения q. Предположим, что среди коэффициентов air есть положительные. Тогда с увеличением значения q соответствующие переменные могут стать отрицательными. Поэтому для допустимости решения X (1) необходимо, чтобы q было ограничено сверху:

(4.12)

С учетом (4.12) решение (4.11) всегда будет допустимым, но число ненулевых переменных в нем может превышать m, так как добавлена xr , а значит, оно может быть небазисным. Если же в качестве значения q выбрать q0, то одна из переменных станет равной нулю, а решение (4.11) - базисным.

Пусть минимум в (4.12) достигается на переменной xk. Тогда базисные переменные в новом опорном решении будут вычисляться по формулам:

(4.13)

Этому решению соответствует новый базис {Ai}(1)={A 1 ,…,Ak- 1 ,Ar, Ak+ 1 ,…,Am}. Таким образом, переход к новому базисному решению произошел путем замены переменной Xk на Xr, соответсвенно в базисе - Ak на Ar.

Рассмотрим возможные ситуации при переходе от одного решения к другому. Как было показано выше, при существовании положительных коэффициентов air достигается новое базисное решение (смежная вершина), что иллюстрируется рис. 4.6-а. Если же все air неположительны, величина q, а это значениевводимой переменной, не ограничена сверху. Следовательно, введение такой переменной не приведет к получению базисного решения (достижению новой вершины). Это признак того, что соответствующее ребро допустимого множества, а значит, и само множество оказываются неогранниченными (рис. 4.6-б).

 

 
 


При вычислении q0 минимум может достигаться более чем на одном индексе. При этом обнуляется более одной переменной из входящих в исходное решение. Следовательно, в новом решении будут базисные переменные с нулевым значением, что означает попадание в вырожденное базисное решение.

Если исходное решение вырожденное и нулевой переменной соответствует коэффициет akr >0, то согласно (4.12) q0 =0 и значения переменных не изменяются. Однако состав базиса и базисных переменных изменится - произойдет замена на При высокой степени вырожденности теоретически возможно зацикливание, то есть возврат к старому базису, но на практике такие случаи не встречались.




Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-12; просмотров: 515; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.191.200.47 (0.009 с.)