Задача о максимальном потоке

Наибольший интерес представляет постановка задачи, в которой критерием является поток сети:

Z ® max; (5.34)

k ¹ t, k ¹ s; (5.35) (5.36)

0£ x_ij £ d_ij. (5.37)

Задача (5.34) – (5.37) называется задачей о максимальном потоке. Она имеет большое практическое значение. Для нее разработаны алгоритмы, которые эффективнее методов решения транспортных задач. Они работают непосредственно с сетью как разновидностью графов.

В связи с этим напомним понятие разреза графа (сети), которое используется в основополагающей теореме Форда-Фалкерсона.

Пусть дан ориентированный граф G= (V,U), где V и U -множества вершин и дуг соответственно. Разрезом сети на подмножестве вершин A Ì V, A ¹Æ, A ¹ V, tÎ A, sÎ V\A называется множество дуг ij Î U таких, что i Î A & j Î V\A. Обозначим его P(A). Сумма пропускных способностей дуг разреза называется величиной (пропускной способностью) разреза:

Пример 5.5. Построим один из разрезов сети, приведенной на рис.5.7.

Если A ={t,1,2,3}, то разрезом будет множество дуг P(A)={1,4; 1,6; 2,5; 3,6}, а его величина определяется как d (A)= d₁₄+d₁₆+d₂₅+d₃₆. Дуги, составляющие этот разрез, выделены жирными линиями.▲

Разрез сети, имеющий минимальную пропускную способность, называется минимальным разрезом.

Можно показать, что задачи максимизации потока и минимизации величины разреза являются двойственной парой. Из этого факта следует
Теорема Форда и Фалкерсона:

Величина потока сети (от истока к стоку) не превосходит пропускной способности минимального разреза и существует максимальный поток, величина которого равна пропускной способности минимального разреза.

Методы решения задачи о максимальном потоке основаны на последовательном увеличении потока при соблюдении условий (5.35)-(5.37). При этом легко увидеть аналогию с перемещением по циклу в методах решения транспортных задач.

Аналогом цикла пересчета является увеличивающая цепь. Это цепь, соединяющая исток и сток, все дуги которой допустимые. Дуга является допустимой увеличивающей, если ее направление совпадает с направлением потока и поток на ней меньше пропускной способности, то есть x_ij<d_ij. Дуга считается допустимой уменьшающей, если направление дуги противоположно потоку и x_ij > 0.

На увеличивающей дуге поток может возрасти на величину q_ij=d_ij-x_ij, а на уменьшающей дуге возможно снижение потока, равное q_ij = x_ij. Следовательно, максимальное допустимое изменение величины потока по увеличивающей цепи определяется как минимальное из возможных:

q₀ = (5.38)

Таким образом, максимальный поток сети может быть определен по следующему алгоритму.

5. Задать начальную величину потока, обеспечиваемую потоками дуг при выполнении условий (5.35)-(5.37).

Примечание. Очевидно, что в качестве начального всегда можно взять нулевой поток.

6. Построить увеличивающую цепь. Если построить невозможно, то решение завершено.

7. По формуле (5.38) вычислить q₀.

8. Переместить вдоль цепи q₀, прибавляя к потокам на увеличивающих дугах и вычитая из потоков уменьшающих дуг. В результате поток сети увеличивается на q₀. Перейти на шаг 2.

Пример 5.6. Определить максимальный поток сети на рис. 5.8. Пропускные способности дуг показаны у стрелок перед косой чертой.

Задаем начальный поток. Значения начальных потоков дуг даны за косой чертой, они удовлетворяют условиям задачи. Величина потока сети Z ⁽⁰⁾=7.

Первая итерация.

Строим увеличивающую цепь. Она показана на рис. 5.8 утолщенными линиями. Определяем приращение потока: q₀ = min(7-3, 5-1, 6-4)=2. Увеличиваем потоки дуг цепи на 2 (рис. 5.9). Z ⁽¹⁾= Z ⁽⁰⁾ + q₀ =7+2=9.

Вторая итерация.

Строим увеличивающую цепь {t,1; 1,4; 4,s} (рис. 5.9). q₀ = min(7-5, 3-2, 5-1)=1.Увеличиваем потоки по дугам цепи на q₀ (рис. 5.10). Z ⁽²⁾= Z ⁽¹⁾ + q₀ = 9+1=10.

Третья итерация.

Новая цепь состоит из увеличивающих дуг t,3 и 4,s и уменьшающей дуги 4,3 (рис. 5.10). q₀ = min(4-2, 1, 5-2)=1. Изменяем потоки: на дугах t,3 и 4,s увеличиваем, а на дуге 4,3 уменьшаем на величину q₀. Тогда получаем Z ⁽³⁾= Z ⁽²⁾ + q₀ = 10+1=11 (рис. 5.11).

Так как увеличивающую цепь построить нельзя, последнее решение является оптимальным. Максимальный поток сети равен 11.Минимальный разрез рассмотренной сети соответствует множеству вершин А ={t,1,2,3,5,6}, то есть P(A)={1,4; 5,s; 6,s}. Его пропускная способность d (A)= d₁₄+d_5s+d_6s =3+2+6=11 равна величине максимального потока, что согласно теореме Форда-Фалкерсона также является признаком оптимальности найденного решения.