Аналитический вывод ускорения Кориолиса И. М. Воронкова.

И. М. Воронков в «Курсе теоретической механики» ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО–ТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 1954 § 91. Теорема Кориолиса определяет полное ускорение следующим образом (см. Рис.5.3.1):

Рис. 5.3.1

r = r₀ ′ + r ′

r ′ = х ′ * i ′ + y ′ * j ′ + z ′ * k ′

r = r₀ ′ + х ′ * i ′ + y ′ * j ′ + z ′ * k ′

Переносная скорость (v _е) равна производной от радиус–вектора (r) по d(t) при переменных ортах i, j, k:

v_е = dr_о ′ / dt + х ′ di ′ / dt + у ′ dj ′ /dt + z ′ dk ′ / dt

Переносное ускорение (w_e) равно производной переносной скорости (v_е) по (dt), при переменных ортах i, j, k и постоянных координатах х^/, у^/, z ^/:

w_e = d²r _о ^/ / dt² + х ^/ d²i^/ / dt² + у ^/ d²j^/ / dt² + z^/d²k^/ / dt²

Относительная скорость (v_r) равна производной (r ′) по (dt) при переменных координатах х ′, у′, z ′ и постоянных ортах i, j, k:

v_r = i ′ dх ′ / dt + j dу ′ / dt + k ′ d z ′ / dt

После дифференцирования последнего выражения при постоянных ортах i, j, k получим относительное ускорение (w_r):

w_r =   id ² х^/ / dt ² + jd ² у^/ / dt ² + kd ² z ^/ / dt ²

Далее для определения абсолютного ускорения (w _а), Воронков предлагает продифференцировать по времени левые и правые части выражения для абсолютной скорости (v_a) при переменных координатах (х′,у′, z ′, i ′, j ′, k ′):

v_a = v_e + v_r

w_a = dv_a / dt = dv_r / dt + dv_e / dt

dv_e / dt = d²r_о^/ / dt² + х^/d²i^/ / dt² + у^/d²j^/ / dt² + z^/d²k^// dt² +

+ (dx^/ / dt * di^/ / dt + dу^/ / dt * dj^/ / dt + dz^/ / dt * dk^/ / dt) =

= w_e + (dx ′ / dt * di ′ / dt + dу ′ /dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′ / dt) 

dv_r / dt = id² х^/ / dt² + jd²у^/ / dt² + kd²z^/ / dt² +

+ (dx ′ / dt * di ′ / dt + dу ′ / dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′ / dt) =

= w_r + (dx ′ / dt * di ′ / dt + dу ′ / dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′ / dt)

учитывая, что:

di ′ / dt = v_r(i ′) = ω * i ′

dj^/ / dt = v_r(j ′) = ω * j ′

dk^/ / dt = v_r(k ′) = ω * k ′,

то выражение в скобках в уравнениях для (dv_e/dt) и для (dv_r/dt) примет вид:

(dx ′ / dt * di ′/ dt + d у ′ / dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′/ dt) =

= ω * v_r

Подставляя в уравнение для (dv_e/dt) и для (dv_r/dt) вместо скобок выражение (ω* v_r), получим:

dv_e / dt = w_e + ω * v_r

dv_r / dt = w_r + ω * v_r

Складывая два последних выражения, определим абсолютное ускорение (w _а):

w _а = w_e + w_r + 2 * ω * v_r

Воронков, к сожалению, не дает разъяснений, касающихся физического смысла производных по времени (dv_e / dt) и (dv_r / dt) при переменных значениях (х′,у′, z ′, i ′, j ′, k ′), хотя это, на наш взгляд, очень важно с точки зрения физического смысла поворотного ускорения Кориолиса. Именно об этом мы говорили при анализе вывода Матвеева и Тарга. Рассмотрим подробнее дифференцирование переносной скорости при переменных координатах (х′,у′, z ′, i ′, j ′, k ′). Дифференциал (dv _е / dt) при переменных (i ′, j ′, k ′) это есть непосредственно переносное ускорение  (w_e) по определению. А дифференциал переносной скорости (dv _е / dt) при переменных (х ′,у′, z ′) учитывает дополнительное изменение переносной скорости при осуществлении относительного движения. Действительно, продифференцируем переносную скорость при переменных (х ′,у′, z ′):

v_е / dt = (dr_о ′ / dt + х ′ i ′ / dt + у ′ dj ′ / dt + z ′ dk ′ / dt) / dt

Дифференциал (dr_о ′ /dt) = 0, т.к. радиус–вектор (r_о) не зависит от переменных (х ′,у′, z ′). При дифференцировании оставшихся членов в выражении для относительной скорости (v_е) при переменных (х ′,у′, z ′) получаем:

v_е/dt = (х ′ di^/ / dt + у ′ dj^/ / dt + z ′ dk ′ / dt) / dt =

= (d х ′ / dt * di ′ / dt + d у ′ / dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′ / dt) =

= ω * v_r

Таким образом, переносное ускорение тела при относительном движении это сумма переносного ускорения точки подвижной системы, в которой в данный момент времени находится тело и дополнительного ускорения Кориолиса.

 Аналогичным образом рассмотрим подробнее дифференцирование относительной скорости (dv_r / dt) при переменных значениях (х′,у′, z ′, i ′, j ′, k ′). Дифференциалотносительной скорости (dv_r / dt) при переменных (х ′,у′, z ′) это есть непосредственно относительное ускорение (w_r) по определению. А дифференциал относительной скорости (dv_r / dt) при переменных (i ′, j ′, k ′) учитывает дополнительное изменение относительной скорости при осуществлении переносного движения.

Продифференцируем переносную скорость при переменных (i ′, j ′, k ′):

dv_r/dt = (i ′ dх ′ / dt +j dу ′ / dt + k ′ d z ′ / dt) / dt =

= (dх ′ / dt * di ′ / dt + dу ′ / dt * dj ′ / dt + d z ′ / dt * dk ′ / dt) = ω * v_r

Таким образом, относительное ускорение тела при переносном движении это сумма относительного ускорения и дополнительного ускорения Кориолиса.

Относительное ускорение при переносном движении отличается от относительного ускорения в отсутствии переносного движения на величину ускорения Кориолиса. Точно также как переносное ускорение при относительном движении отличается от переносного ускорения в отсутствии относительного движения на ту же самую величину. В обоих случаях и при дифференцировании (dv_e / dt) при переменных координатах (х′,у′, z ′), и при дифференцировании (dv_r / dt) при переменных (i ′, j ′, k ′) фактически дифференцируется одна и та же поворотная часть абсолютного движения. Поэтому присутствие в классической формуле абсолютного ускорения двойных членов поворотного ускорения Кориолиса означает, что одно и то же поворотное ускорение учтено дважды. Реальное абсолютное ускорение сложного движения, по нашему мнению, определяется выражением:

w _а = w_e + w_r + ω * v_r

Воронков безупречно выполнил математические преобразования, которые, однако, основаны на неправильном, на наш взгляд, представлении о реальном геометрическом приращении поворотного движения и природе ускорения Кориолиса. В результате поворотное ускорение Кориолиса в выводе Воронкова, как и в выводах других авторов, завышено вдвое за счет двойного учета геометрии одной и той же физической величины.

Аналитические выводы уравнения абсолютного ускорения и ускорения Кориолиса не ограничиваются методом, предложенным Воронковым. В теоретической механике представлены и другие варианты аналитического определения ускорения Кориолиса, которые по физической сущности мало чем отличаются от рассмотренного вывода Воронкова.