Нутация гироскопа не прекращаются до тех пор, пока осуществляется прецессия, Т. К. Нутация это есть суть – циклы прецессии.

***

Направление гироскопических сил можно найти с помощью правила, сформулированного Н.Е. Жуковским: гироскопические силы стремятся совместить момент импульса L гироскопа с направлением угловой скорости вынужденного поворота. Это правило можно наглядно продемонстрировать с помощью устройства, представленного на рис. (4.7.7).

Рис. 4.7.7

Ось гироскопа закреплена в кольце, которое может свободно поворачиваться в обойме. Приведем обойму во вращение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Ω (вынужденный поворот). При этом кольцо с гироскопом будет поворачиваться в обойме до тех пор, пока направления L и Ω не совпадут. Такой эффект лежит в основе известного магнитомеханического явления – намагничивания железного стержня при его вращении вокруг собственной оси – при этом спины электронов выстраиваются вдоль оси стержня (опыт Барнетта).

 

Вращение твёрдого тела.

Классическая физика определяет момент импульса твёрдого тела как скорость изменения некоего произвольного вектора (А), связанного с центром масс тела, т.е. с неинерциальной системой координат относительно инерциальной системы координат. Вычисляя производные для каждой из осей инерциальной системы координат, и применяя их к основному уравнению динамики вращательного движения в уравнении второго закона Ньютона простой механической заменой переменных получают уравнения Эйлера. Для этого производную вектора (А) в инерциальной системе координат (dA/dt) заменяют новой переменной – моментом силы (М), а производную этого же вектора в подвижной системе координат (∂A/∂t), связанной с телом, но в предположении, что, что оси (i', j', k') неподвижны, заменяют новой переменной – моментом импульса (dL/dt)!

Приведём курсивом классический вывод уравнений Эйлера (см. упомянутую выше работу Матвеева А. Н. на стр. 317 – 319.):

Уравнение движения центра масс тела имеет вид:

m * dV₀ / dt = m * d ([ω, r₀)]) / dt = F

где

r ₀: радиус–вектор центра масс тела, проведённый из точки его закрепления. Реакции связи включены в (F).

Пусть некоторый вектор (А) задан компонентами относительно системы координат (i ', j ', k '):

A = i' * dA'_x + j' * dA'_y + k' * dA'_z

С течением времени изменяются компоненты (A ' _x, A ' _y, A ' _z) относительно движущихся осей координат и ориентировка осей координат относительно инерциальной системы отсчёта.

Имеем:

dA / dt = i ' * dA ' _x / dt + j ' * dA ' _y / dt + k ' * dA ' _z / dt +

+ d i' / dt * A'_x +d j' / dt * A'_y + dk' / dt * A'_z

Скорость точки вращающегося тела, радиус–вектор которой (r), равна (dr / dt = [ ω, r ]). Аналогично, следя за концом вектора (i '), проведённым из точки на оси вращения, находим (d i ' / dt = [ ω, i ']). Такой же вид имеют производные от (j) и (k). Следовательно, ориентировку осей координат с проекциями вектора (А) подвижной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта (d i ' / dt * A ' _x + d j ' / dt * A ' _y + dk ' / dt * A ' _z) можно выразить следующим образом:

i' / dt * A'_x +d j' / dt * A'_y + dk' / dt * A'_z = [ω, i' * A'_x] + [ω, j' * A'_y] +

+ [ω, k' * A'_z] = ω * [i' * A'_x + j' * A'_y + k’ * A'_z] = [ω, А ]

Тогда:

dA / dt = ∂A / ∂t + [ω, A],

где (∂ A / ∂ t) есть производная от (А), вычисленная в предположении, что оси (i ', j ', k ') неподвижны:

∂A / ∂t = i' * dA'_x / dt + j' * dA’y / dt + k' * dA'_z / dt

Утверждается, что эта формула справедлива для любых векторов (А). На этом основании после замены переменных, получают следующее выражение:

M = dL / dt + [ ω, A ]

Принимая во внимание, что (L_x = I_x * ω _x), (L_y = I_y * ω _y), (L_z = I_z * ω _z) последнее выражение, полученное после замены переменных, переписывают в компонентах относительно движущейся системы координат для каждой из осей координат (штрихи опущены):

I_x * ω _x / dt + (I_z – I_y) * ω _y * ω _z = M_x

I_y * ω _y / dt + (I_x – I_z) * ω _x * ω _z = M_y

I_z * ω _z / dt + (I_y – I_x) * ω _y * ω _x = M_z

Это и есть уравнения Эйлера. Классическая физика утверждает, что эти уравнения всегда позволяют определить вращательное движение тела, закреплённого в одной точке. Однако уравнения Эйлера не отражают физическую реальность, т.к. это есть некорректная попытка смешать в одной общей зависимости одноимённые параметры разных видов вращательного движения по радиусу, которые физически могут существовать только автономно в своих собственных системах отсчёта, определяемых именно своим постоянным во всех отношениях радиусом. В общем результирующем движении нет, и не может быть автономных вращений разных масс, хотя и одного тела, но расположенных на разных радиусах по абсолютной величине и осуществляющихся в разных плоскостях. Они существуют только в соответствии с абстрактными математическими представлениями классической динамики вращательного движения.

Вывод уравнений Эйлера представляет собой обычное дифференцирование уравнения второго закона Ньютона, в котором ускорение представлено как дифференциал скорости (dA / dt). При этом замена переменных произведена на том основании, что второй закон Ньютона якобы является полным физическим аналогом уравнения моментов. Однако, как показано в главе (3) физической аналогии между классической динамикой вращательного движения и динамикой Ньютона нет. Напомним коротко суть этого несоответствия.

Угловое перемещение определяется из внешней точки отсчёта как угловой размер видимой из этой точки длины линейного перемещения. Однако динамика Ньютона, определяющая динамику вращательного движения, не ограничена ни величиной, ни направлением перемещения в пространстве. Поэтому для объективной и однозначной оценки ограниченного 360–ю градусами углового перемещения должны неукоснительно соблюдаться три условия: