Общий случай проявления ускорения Кориолиса.

Рассмотрим общий случай проявления ускорения Кориолиса, в котором относительная скорость имеет произвольное направление.

В упомянутом выше источнике Матвеев пишет:

«Произвольная скорость может быть выражена в виде суммы слагающих, направленных по радиусу и перпендикулярно к нему, и для обеих составляющих справедлива одна и та же формула вида (66.7). Отсюда следует, что формула (66.7) справедлива для кориолисова ускорения при произвольном направлении относительной скорости».

w _К = 2 [ω, V_{отн. общ.}]                                                                     (66.7)

где V_{отн. общ.} – произвольная относительная скорость

или подробнее

а _к = 2 * ω * V_отн.═ + 2 * ω * V_отн.┴                                                                      (4.6.1)

где:

2 * ω * V_{отн ┴ =} (2 * ω * ω_отн.* r);

Vr_═: радиальная составляющая относительной скорости;

Vr_┴: перпендикулярная составляющая относительной скорости;

ω: мгновенное значение переносной угловой скорости;

ω _отн: относительная угловая скорость,

r: текущее значение радиуса переносного вращения.

Вынося за скобки общий множитель (2* w) можно записать:

а _к = 2 * ω * (Vотн._═ + Vотн._┴)

Сумма (V_отн.═) и (V_отн.┴), записанная в круглых скобках есть не что иное, как геометрическое выражение для полной относительной скорости (V_отн):

V_отн = V_отн.═ + V_отн┴

Тогда в общем случае ускорение Кориолиса действительно было бы равно выражению (66.7):

а _к = 2 * ω * V_отн. _общ.

  Но,как показано в предыдущих главах (4.4. и 4.5.) при перпендикулярном радиусу относительном движении ускорение Кориолиса не проявляется. Следовательно, за счёт перпендикулярной радиусу составляющей произвольной относительной скорости происходит лишь изменение переносной скорости вращения при ускорении Кориолиса по первому варианту. Причём при постоянной произвольной относительной скорости это приращение переносной скорости также постоянное, в то время, как её радиальная проекция не вызывает никакого приращения радиальной скорости, поскольку это и есть сама радиальная скорость.

В результате имеем неизменное ускорение Кориолиса по первому варианту и непрерывно изменяющееся приращение абсолютного ускорения за счёт непрерывно изменяющегося прироста центростремительного ускорения, обеспечивающего вращение переносной линейной скорости, изменяющейся исключительно только за счёт перпендикулярной составляющей относительной скорости. Естественно, что ускорение Кориолиса к этому приросту центростремительного ускорения не имеет никакого отношения.

А непрерывно изменяется этот прирост центростремительного ускорения либо в сторону его уменьшения при удалении тела от центра вращения, либо в сторону увеличения при движении к центру, т.к. постоянная перпендикулярная радиусу составляющая произвольной относительной скорости при непрерывно изменяющемся радиусе даёт в этих двух случаях либо уменьшение, либо увеличение центростремительного ускорения соответственно.

На наш взгляд, математические преобразования, приводящие формулу общего ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения к виду (66.7) с физической точки зрения неправомерны.

Ускорение Кориолиса по первому варианту формально зависит только от переносной угловой скорости, т.к. относительная угловая скорость в первом варианте проявления ускорения Кориолиса при равномерном вращении (абсолютная угловая скорость не изменяется) отсутствует. Однако при произвольном направлении относительного движения текущая угловая скорость постоянно изменяется за счет перпендикулярной радиусу составляющей относительного движения. Поэтому вектора всех составляющих абсолютной скорости сложного движения в абсолютной системе координат вращаются с абсолютной угловой скоростью (если не учитывать сдвиг фаз).

Таким образом, при произвольном направлении относительного движения в формуле (4.6.1) необходимо учитывать абсолютную угловую скорость (Ωn) равную сумме текущих угловых скоростей переносного и относительного движений:

Ω n = ω _ет + ω _отн.т,

Где:

ω_ет = (Ω_(n-1)) – переносная угловая скорость текущая равная абсолютной угловой скорости на (n-1) шаге дифференцирования;

ω_отн.т – относительная угловая скорость в текущем интервале времени дифференцирования (n).

В свою очередь в выражении (2 * ω * ω_отн.┴* r) для дополнительного связующего ускорения, обусловленного перпендикулярной к радиусу составляющей относительного движения необходимо учитывать не абсолютную угловую скорость, а переносную угловую скорость, т.к. в выражении для относительной линейной скорости (ω_отн.┴* r = V_отн.┴) уже учтена относительная угловая скорость (ω_отн.┴), дополняющая переносную угловую скорость до абсолютной угловой скорости. Собственно это очевидно и из самого выражения для дополнительного ускорения (2 * ω * ω_отн.┴* r), в котором присутствуют обе угловые скорости (абсолютная ω и относительная (ω_отн.┴).

Таким образом, в слагаемые выражения (4.6.1), представляющие собой составляющие классического ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения должны подставляться разные угловые скорости (Ωn) и (ω_ет). При этом выражение для ускорения Кориолиса при произвольном направлении относительного движения с учетом классического поворотного ускорения при радиальном и при перпендикулярном к радиусу относительном движении будет иметь вид, несколько отличающийся от классической формулы вида (66.7): 

а _к = 2 * Ωn * V_отн.═ + 2 * ω_ет * V_отн.┴                                                                 (4.6.2)

 В выражении (4.6.2), математические преобразования по приведению этого выражения к выражению вида (66.7) невозможны, т.к. угловые скорости в каждом слагаемом формулы (4.6.2) разные. Следовательно, физический смысл классического ускорения Кориолиса по первому варианту не соответствует его же физическому смыслу во втором варианте.

Это еще раз подтверждает, что как минимум один из этих вариантов не связан с явлением Кориолиса. Причем поскольку во втором варианте классическая физика пытается увязать ускорение Кориолиса с центробежной силой равномерного вращательного движения, то, скорее всего именно этот вариант не относится к явлению Кориолиса.

С учетом реальной текущей угловой скорости при произвольном направлении относительного движения в формуле (4.6.2) вынести за скобки чисто математически можно только множитель «2», что с нашей точки зрения также не бесспорно, т.к. в нашей версии ускорения Кориолиса множитель «2» отсутствует. Поэтому при произвольном направлении относительного движения общее ускорение Кориолиса, по нашему мнению, описывается выражением для ускорения Кориолиса при радиальном относительном движении в нашей версии с учётом изменяющей за счёт нормальной составляющей относительного движения угловой скорости переносного вращения:                

а _{к общ.} = Ω _n * V _отн.═                                                                          (4.6.3)

При этом в абсолютном ускорении дополнительное ускорение (2 * ω * ω_отн.┴ * r) при относительном движении, перпендикулярном радиусу будет автоматически учтено в составе центростремительного ускорения текущего вращательного движения с текущей абсолютной угловой скоростью (Ωn). При переменных значениях (ω_е) и (V_отн.) в выражение для силы и ускорения Кориолиса должно подставляться либо среднее значение этих параметров, либо их мгновенные значения, что в принципе одно и то же. При этом в усреднение угловой скорости должны входить и её вариации за счёт тангенциальной составляющей относительного движения, если таковая имеется.

 

 

Силы Кориолиса в гироскопе.

Классическая теория гироскопа приведена, например, в статье «Почему и как прецессирует гироскоп», размещённой на сайте кафедры ОиСФ МИФИ под названием «В помощь студентам, изучающим физику» (http://iatephysics.narod.ru/gyroscope/gyrosc_r.htm). В своём варианте мы сохранили оригинальные рисунки и обозначения авторов статьи. Однако наше видение теории гироскопа во многом расходится с классическими представлениями.

Гироскопом называется быстровращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Однако при попытке изменить положение оси гироскопа в пространстве с помощью внешней силы, он, вопреки ожиданию, поворачивается не в направлении внешней силы, а вокруг оси, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к его оси симметрии.

Такое движение гироскопа называется прецессией. Объяснить прецессию можно только действием обычных истинных сил Кориолиса в ответ на воздействие внешних сил. Именно на этом и фактически и построена классическая теория гироскопа, изложенная в указанной статье на сайте ОиСФ МИФИ. Однако, как это ни странно, в классической физике такого понятия, как истинная сила Кориолиса не существует, а классические силы Кориолиса являются вовсе не обычными реальными силами, а фиктивными несуществующими силами инерции.

Пусть к оси (у) гироскопа постоянно приложены постоянные силы (F ₁) и (F ₂), создающие момент (M ₁₂), перпендикулярный к плоскости, в которой лежат силы (см. Рис. 4.7.1). Под действием момента (M ₁₂) гироскоп начинает поворачиваться относительно оси (х) с какой–то угловой скоростью (Ω'). При этом точки (С) и (D) с массами (dm) оказываются движущимися в радиальном направлении вращательного движения относительно оси (х). Следовательно, на них начинают действовать силы Кориолиса (F _С = dm [ V _С, Ω' ]) и (– F _D = dm [ V _D, Ω' ]), которые и вызывают прецессию гироскопа, т.е. его вращение относительно оси (z) с угловой скоростью (Ω).

Рис. 4.7.1

 

Причём это могут быть только обычные истинные силы Кориолиса–Кеплера, ошибочно называемые авторами статьи классическими силами Кориолиса, т.к. прецессия осуществляется в одном с ними направлении, что характерно только для обычных сил. Фиктивные силы инерции всегда направлены противоположно ускорению. О реальности сил, вызывающих прецессию, свидетельствует реально наблюдаемая изгибная деформация диска прецессирующего гироскопа, если он выполнен, например, из гибкого материала (см. Рис. 4.7.2). 

Рис. 4.7.2

Фиктивные силы инерции, к которым относится, в том числе и классическая сила Кориолиса, всегда направлены противоположно реальному ускорению тел, вызванному обычными силами. При этом реальное ускорение Кориолиса обеспечивает обычная сила, поддерживающая переносное вращение. В нашем случае поддерживающими силами являются внешние силы (F ₁) и (F ₂), которые запускают прецессию, и которые успешно преодолеваются истинными силами Кориолиса–Кеплера. Происходит это следующим образом (см. Рис. 4.7.3).

Рис.4.7.3

Прецессия относительно оси (z) является в свою очередь переносным вращением для точек (А) и (В). Следовательно, на них действуют силы Кориолиса (– F _А = dm [ V _А, Ω ]) и (F _В = dm [ V _В, Ω' ]), которые образуют момент (M _AB), стремящийся уравновесить внешний момент (M ₁₂). С увеличением скорости прецессии под действием постоянного момента (M ₁₂) растёт и момент (M _AB), в то время как противодействующий ему момент постоянных внешних сил (M ₁₂), запускающий прецессию, остаётся неизменным. Следовательно, в какой–то нижней точке траектории прецессии (Н) момент (M _AB) сначала сравняется с моментом (M ₁₂) по величине, а затем и неминуемо превысит его (см. Рис. 4.7.4).

Рис. 4.7.4

Под действием силы (F _B) и (F_A) момента (M _AB) ось (y) начинает двигаться из нижней точки (Н) вверх по рисунку, что приводит к изменению знака угловой скорости вращения гироскопа (Ω') относительно оси (х). При этомнаправление сил Кориолиса–Кеплера (F _C) и (F _D) и соответственно момента (M _CD) так же изменяется на противоположное. В результатепод действием обратных сил (F _C) и (F _D) скорость прецессии уменьшается, т.е. момент (M _CD) теперь тормозит прецессию. Когда скорость прецессии окажется меньше необходимой, чтобы компенсировать момент пары сил (F ₁) и (F ₂), знак (Ω') снова изменится, и процесс начнет повторяться. Такое колебательное движение гироскопа вокруг оси x называется нутацией (см. Рис. 4.7.4).

До этого момента с учётом нашей замены классических сил Кориолиса на истинные силы Кориолиса–Кеплера мы полностью согласны с авторами из ОиСФ МИФИ. О том, что речь идёт именно об истинных силах Кориолиса–Кеплера свидетельствует также исчезновение двойки из формулы классической силы Кориолиса в изложении авторов. Это радует. Однако на этом всё разумное в их изложении и заканчиваются. Далее авторы утверждают, что очень скоро из–за трения нутация прекращается и гироскоп переходит в режим установившейся прецессии, при котором | M _AB| = | M ₁₂|_. Авторы статьи на (http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&uri=page15.html), из которой заимствован рисунок (4.7.5), так же, как авторы сайта МИФИ, объясняют затухание нутаций только трением:

«Характер траектории, по которой движется вершина гироскопа, зависит от начальных условий. В случае (рис. 4.7.5а) гироскоп был раскручен вокруг оси симметрии, установлен на подставке под некоторым углом к вертикали и осторожно отпущен. В случае (рис. 4.7.5б) ему, кроме того, был сообщен некоторый толчок вперед, а в случае (рис. 4.7.5в) – толчок назад по ходу прецессии. Кривые на (рис. 4.7.5) вполне аналогичны циклоидам, описываемым точкой на ободе колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания или с проскальзыванием в ту или иную сторону.

И лишь сообщив гироскопу начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутаций. Чем быстрее вращается гироскоп, тем больше угловая скорость нутаций и тем меньше их амплитуда. При очень быстром вращении нутации делаются практически незаметными для глаза. С энергетической точки зрения кинетическая энергия прецессии появляется за счет изменения потенциальной энергии гироскопа.

Если за счет трения в опоре нутации гасятся быстрее, чем вращение гироскопа вокруг оси симметрии (как правило, так и бывает), то вскоре после "запуска" гироскопа нутации исчезают, и остается чистая прецессия (рис. 4.7.5г). При этом угол наклона оси гироскопа к вертикали (θ₂) оказывается больше, чем он был вначале (θ₁) то есть потенциальная энергия гироскопа уменьшается. Таким образом, ось гироскопа должна немного опуститься, чтобы иметь возможность прецессировать вокруг вертикальной оси».

 

Рис. 4.7.5

Здесь мы категорически не согласны с классической теорией гироскопа. Всё, что сказано выше, кроме роли трения в прекращении нутаций, это есть описание физического механизма образования, регулирования и поддержания прецессии. Нутации – это внешнее проявление важнейшей части этого механизма, а именно его отрицательной обратной связи, без которой само его существование невозможно в принципе. Поэтому нутации прекращаются только с прекращением самой прецессии. А трение способствует прекращению нутации ровно в той степени, в которой она способствует прекращению не только прецессии, но и всем вращениям гироскопа в целом, как собственно и всем движениям вообще.

Как известно, регулирующее воздействие принципиально запаздывает по отношению к регулируемым параметрам, т.к. оно является вторичным по отношению к регулируемому воздействию. Сначала появляется отклонение параметра и только после этого вырабатывается ответное регулирующее воздействие, что неизбежно связано с погрешностью регулирования, которая, таким образом, является следствием запаздывания регулирующего воздействия.

Нутации это и есть неустранимая погрешность регулирования механизма прецессии. Поэтому равенство (|M_AB| = |M₁₂|) в установившейся прецессии является лишь примерным равенством (|M_AB| ≈ |M₁₂|), погрешность которого и определяют нутации. С ростом частоты нутаций уменьшается время запаздывания регулирования и соответственно повышается его точность. Однако поскольку запаздывание регулирования принципиально неустранимо, то принципиально неустранима и его погрешность нутации.

Автоматическое регулирование и соответственно нутации присутствует на микроуровне даже в равномерном вращательном движении. Это циклы его формирования, которые в переходном процессе образования вращения, точно так же, как и в начале прецессии гироскопа имеют большую амплитуду и малую частоту. В установившейся регулярной прецессии точно так же, как и в установившемся вращении эти колебания никуда не исчезают (см. гл. 3.2.). Они лишь переходят на микроуровень. При этом увеличивается их частота и уменьшается их амплитуда. Это повышает точность регулирования, но не устраняет полностью его погрешность, как таковую.

Как утверждает классическая физика, прецессия осуществляется за счёт работы внешних сил, причём только на начальном этапе её запуска. При этом энергетика основного вращения гироскопа во время прецессии якобы не изменяется, а в нутациях осуществляется только преобразование потенциальной энергии внешней силы в кинетическую энергию прецессии гироскопа и обратно. После наступления регулярной прецессии, нутации якобы полностью прекращаются, а внешняя сила только поддерживает прецессию по аналогии с центростремительной силой равномерного вращательного движения. (см. Д. В. Сивухин, Общий курс физики, Механика, Т1, М., 1979 г., 520 с., глава 7, параграф 50, стр. 274).

Можно, конечно не знать физического механизма формирования равномерного вращательного движения, проявляющегося в виде автоколебаний его параметров на микроуровне. Можно считать эти колебания побочным явлением так же, как и нутации в прецессии гироскопа, как считает классическая физика. Однако при этом энергетическая независимость равномерного вращательного движения с его внутренней центростремительной силой, хотя бы не противоречит закону сохранения энергии замкнутой системы.  А вот равномерная без затратная прецессия под воздействием внешней силы – это прямое нарушение закона сохранения энергии, который принципиально не может соблюдаться при наличии внешних сил. Верно и обратное утверждение. Внешние силы, которые не совершают работы над системой, не могут быть внешними для системы силами. Такие силы являются внутренними силами системы.

Вращающееся тело в совокупности со связующим телом в равномерном вращательном движении можно образно представить в виде упругого резинового мячика, который в своём круговом движении без затратно отражается от центра вращения. В прецессии гироскопа таким мячиком по приведённой выше аналогии Сивухина с равномерным вращательным движением должен являться, например, груз подвешенный к гироскопу и воздействующий на него через силу тяготения. При этом упругость мячика Сивухина должно имитировать нутационно–прецессионное движение.

Однако кинетическая энергия падения мячика вовсе не вся запасается во вращениях гироскопа, связанных с его прецессией и нутациями, имитирующих его упругость, как предлагает считать Сивухин и соответственно классическая физика. Энергия этих вращений и нутаций, равная половине изначальной потенциальной энергии мячика, изымается из энергии быстрого вращения диска гироскопа. Другими словами вместо без затратного обмена энергией с гироскопом этот мячик будет работать как насос с двумя рабочими тактами, выкачивающий энергию из гироскопа за счёт внешней силы тяготения в каждом из этих тактов.

 Как показано в выводе второго закона Кеплера (закона сохранения момента импульса), приведённом в главе (3.5.3.) истинная сила Кориолиса–Кеплера является тангенциальной проекцией радиальной силы на касательную к спиральному движению с изменяющимся радиусом. В гироскопе радиальной силой, действующей вдоль торцов диска, проецируемых на оси (x) и (z), является сила взаимодействия элементов диска (dm) и силы тяготения, как единственной силы, так или иначе передающейся на эти торцы–радиусы, вызывая их переносное вращение. А поскольку сила взаимодействия для взаимодействующих тел является общей, то за истинную силу Кориолиса–Кеплера правомерно принять, как силу тяготения, так и равную ей силу элементов (dm), т.е. собственно саму силу Кориолиса Кеплера.

А вот энергию эта сила черпает из двух источников. Это энергия тяготения и кинетическая энергия быстрого вращения элементов диска. Причём энергия элементов диска (dm) за счёт обратной связи механизма прецессии, проявляющейся в нутациях, регулируется по величине строго в соответствии с энергией сил тяготения, действующих на мячик. Это как раз и создаёт ошибочное заключение, что в потенциальной энергии упругости гироскопа, имитируемой нутационно–прецессионным движением, запасается исключительно только энергия падения мячика. При этом энергия быстрого вращения элементов (dm) в этом процессе якобы никак не задействована. Именно на этом и основана иллюзия без затратной прецессии гироскопа. Однако это далеко не так.

Если искусственно подтолкнуть прецессию, то вершина гироскопа поднимется выше, если атормозить прецессию, то вершина опустится ниже. Этим экспериментом Сивухин подтверждает, что важнейшую роль в ответной реакции на внешнюю силу играет нутационно–прецессионное движение, которое замедляется якобы преимущественно только за счёт его трения. При этом трением быстрого вращения в виду его малости пренебрегают, а замедление быстрого вращения за счёт затрат его энергии на прецессию категорически не признают в принципе.

Однако не следует забывать, что истинные силы Кориолиса–Кеплера, отвечающие за прецессию питаются энергией радиальной силы, которая в гироскопе преимущественно обеспечивается за счёт быстрого вращения (см. выше). На электрическом управляемом гироскопе эксперимент с подталкиванием или притормаживанием легко провести и на быстром вращении. При этом результат будет тот же, что и на прецессионном вращении. И главное в этом эксперименте вовсе не влияние трения на затухание любых и всех без исключения процессов, что и так очевидно, а доказательство участия энергии быстрого вращения в функционировании механизма прецессии.

В этом эксперименте силы тяготения не меняются. А вот ответная реакция гироскопа принципиально зависит от силы Кориолиса–Кеплера и регулирования затрат энергии на неё из запаса быстрого вращения. Если мячик подскакивает ниже исходной высоты, то это безусловно потери, в том числе и на трение. На этом абсолютно бесспорном абсолютно для всех факте и заостряет внимание Сивухин и классическая физика. Но если мячик вдруг прыгнул «выше головы», то запасами его потенциальной энергией перед падением этого уже не объяснить.

Для этого он должен либо падать быстрее, чем ему положено, неважно для нас по какой именно причине, либо навстречу ему должна поступать не его энергия. А вот это уже очень важно, как для нас, так и для физики в целом. Однако классическая физика категорически отказывается заострять внимание на этом важном моменте. По её мнению этого не может быть в принципе. Тем не менее, этот эксперименти его результаты и есть убедительнейшее доказательство затрат энергии быстрого вращения на прецессию гироскопа.

Как следует из приведённого описания, прецессия запускается с нуля в начале цикла нутации и полностью останавливается в конце цикла. Следовательно, в каждой нутации на разгон и торможение прецессии неизбежно затрачивается энергия. При этом существует не абсолютно неизменная постоянная скорость прецессии, как утверждает классическая физика, а только её средняя скорость, которая также является постоянной величиной. Однако её постоянная величина существует только вместе с реальными затратами на образование прецессии в каждом цикле нутации, т.к. усреднение движения с переменной скоростью это всего лишь математическое абстрагирование от реально существующего переменного движения внутри цикла и затрат на его разгон и торможение.

Конечно же, в равномерном вращательном движении, с которым классическая физика сравнивает якобы без затратную прецессию, так же происходит реверсивное изменение величины линейной скорости. Однако без затратным является только вращательное движение замкнутых систем. При этом равномерное движение отдельной точки по окружности является затратным, т.к. оно может осуществляться только за счёт внешней силы. В нутациях так же участвует внешняя сила, кинетическая энергия которой не может преобразовываться в потенциальную энергию гироскопа и обратно, как говорит Сивухин, т.к. без затратный обмен энергии может осуществляться только в замкнутых системах за счёт внутренних сил системы.

Таким образом, прецессия — это старт–стопное движение, которое осуществляется только благодаря затратам на разгон и торможение гироскопа в каждом цикле прецессии – нутации. При этом постоянная скорость регулярной прецессии – есть средняя скорость старт–стопной прецессии.

Теперь, имея некоторые качественные представления о классической теории гироскопа и её противоречиях, перейдём к рассмотрению динамики прецессирующего гироскопа количественно. Начнём с классической динамики гироскопа, приведённой в работе А.Н. Матвеева, Механика и теория относительности, Глава 11 Динамика твёрдого тела, стр. 325, 326, М.: Высшая школа, 1986 (см. курсив):

В результате прецессии полная скорость прецессии (ω + Ω) не совпадает с осью гироскопа (см. Рис. 4.7.6). Однако в виду того, что (ω>> Ω) это несовпадение незначительно и поэтому, несмотря на наличие прецессии, угловая скорость быстрого вращения гироскопа практически совпадает с его осью симметрии и с моментом импульса (L).

Тогда угловая скорость прецессии легко может быть вычислена из уравнения моментов.

dL / dt = M ₁₂

Отсюда:

dL = M ₁₂ * dt,

но приращения момента импульса (L) можно определить через момент импульса и приращение угла его поворота в прецессионном вращении (см. Рис. 4.7.6):

Рис. 4.7.6

Из рисунка видно, что:

dL = L * dφ,

т.е.

dL = M ₁₂ * dt = L * dφ

Отсюда угловая скорость прецессии равна:

Ω = d φ / dt = M₁₂ / L = M₁₂ / (I * ω)

Как видно, из классического вывода вовсе не следует, что при постоянной внешней силе прецессия не является старт–стопным движением. Наоборот, он предполагает исключительно только не равномерную прецессию, т.к. при наличии тангенциальных закручивающих сил момента (М₁₂) никакого равномерного движения не может быть в принципе. В этом случае можно определить только среднюю постоянную скорость прецессии. Следовательно, количественная классическая динамика гироскопа противоречит его же качественной классической теории.

Можно, конечно гипотетически допустить, что по аналогии с классической моделью равномерного вращательного движения постоянный по абсолютной величине вектор (L) под действием постоянной центральной силы вращается с постоянной угловой скоростью. Но тогда классическая физика должна объяснить, как тангенциальные для вектора (L) силы (F₁) и (F₂), лежащие вовсе не в плоскости его вращения могут быть эквивалентны центральной силе в плоскости его вращения. Такого объяснения в классической физике нет.

Но и это ещё не всё. В классическом выводе скорости прецессии начисто отсутствуют силы Кориолиса, которые играют не менее важную роль в теории гироскопа, чем внешние силы. Причём, несмотря на отсутствие в классической физике понятия истинной силы Кориолиса–Кеплера, в классической теории гироскопа речь идёт именно об этих обычных по своему реальному воздействию силах. Иначе никакой прецессии не получится.

Теперь рассмотрим нашу альтернативную динамику прецессирующего гироскопа, которая лишена всех перечисленных выше противоречий классической теории. Из приведённого выше описания механизма прецессии следует, что энергетически прецессия питается энергией внешней силы и энергией основного вращения, соединяющихся в одном взаимодействии. А поскольку сила взаимодействия для взаимодействующих тел является общей, то за истинную силу Кориолиса–Кеплера правомерно принять, как силу тяготения, так и равную ей силу элементов (dm), т.е. собственно саму истинную силу Кориолиса-Кеплера.

Таким образом, если мы хотим выразить скорость прецессии через внешний момент, то следует работать с ним. А если через внутренний момент, то принимаем во внимание внутренний момент сил Кориолиса. Количественный результат будет одинаковым. Классическая физика выбрала для этого внешний момент (М₁₂). Но внешний момент формально не связан с угловой скоростью прецессии, лежащей совсем в другой плоскости. Поэтому непротиворечиво физически выразить угловую скорость прецессии мы можем только через силы Кориолиса, которые действуют в плоскости прецессии.

Итак, обозначив запускающий прецессию момент сил Кориолиса индексом (к), прецессию индексом (п), а момент импульса гироскопа индексом (г) можно записать:

|М_К| = dL_Г / dt = | M _П |  = dL_П / dt

При этом, несмотря на расчёт вращения прецессии по её средним постоянным параметрам, мы фактически определяем только динамику пуска или останова псевдо равномерной старт–стопной прецессии. Для основного вращения гироскопа эта динамика его торможения.

В прецессии происходит смена плоскости основного вращения гироскопа. В каждом новом угловом положении оси основного вращения гироскопа в плоскости прецессии образуется его новое основное вращение с моментом импульса (L_Г2), отличающимся от момента импульса в предыдущей нутации (L_Г1). Следовательно, траектория прецессии — это не траектория равномерного движения по окружности стрелки виртуального вектора (L_Г), с радиусом равным длине (L_Г), а геометрическое место точек разных последовательных вращений диска гироскопа. Радиус такой траектории равен радиусу диска гироскопа.  

При этом приращение вектора (dL_Г) это не без затратное изменение его углового положения в процессе равномерного с классической точки зрения вращения прецессии, а колебания абсолютной величины вектора (L_Г) в каждом положении диска гироскопа в соответствии с прецессией за счёт затрат внутренних сил Кориолиса, противодействующих внешней силе, т.е. за счёт их совместных затрат.

Но продолжим вывод.

Итак, в нашем выводе по обозначенным выше причинам момент запуска прецессии определяется не внешней силой, а силой Кориолиса (M _К):

| M _К | = | M _П | = F_K * r = m_г * а _K * r = m _г * [Ω_ср * V _лг ] * [ r ],

Где:

m _г – усреднённая инертная масса гироскопа, участвующая в образовании усреднённых сил Кориолиса, действующих в плоскости вращения прецессии

Ω_ср – средняя скорость прецессии

V _лг = ω _ср * r – средняя линейная скорость основного вращения гироскопа, здесь (ω * r) – угловая скорость и радиус основного вращения гироскопа соответственно

Подставим в выражение для момента прецессии значение линейной скорости основного вращения гироскопа (V _ЛГ = ω * r):

|М_К| = | M _П | = m _г * [ ω * r ² * Ω_ср]

С учётом прямых углов между векторами [ ω * r ² * Ω] в абсолютных величинах векторов получим:

М_К = M _П = m _г * ω _ср * r ² * Ω_ср

Поскольку:

L _Г = m _г * ω _ср * r ²

то:

М_К = M _П = L _Г * Ω_ср

Отсюда безо всяких парадоксов классического вывода угловой скорости прецессии гироскопа получаем:

Ω_ср = (M _П = M _К) / L _Г = M _К / (I * ω _ср)

Поведение прецессии подобно не скорости, а ускорению, которое прекращается с прекращением действия силы. Истинные силы Кориолиса объясняют и этот эффект кажущегося отсутствия инерционности прецессии безо всяких парадоксов.  

Вообще говоря, старт–стопное движение уже само по себе предусматривает преодоление инерции, как при разгоне, так и при торможении в каждом цикле своего движения за счёт физического механизма своего регулирования. Суть этого механизма показана выше. Остаётся только применить его в отсутствие внешней силы, что не сказывается принципиально, на его сути. Итак, после прекращения действия внешней силы в гироскопе остаются только силы Кориолиса, продолжающие действовать во время его движения по инерции, которую никто не отменял. Вот эти истинные силы Кориолиса–Кеплера и преодолевают инерцию прецессии.

Если же мы снимем внешнюю силу во время цикла нутации далеко от его завершения, то остановка будет длиться какое–то время, необходимое для завершения механизма остановки прецессии внутри цикла. Однако мы эту инерцию не заметим, т.к. в регулярной прецессии длительность циклов очень мала. Тем более что в этом случае в отсутствие противодействия внешней силы такой нарушенный цикл завершится несколько быстрее обычного цикла. Если мы снимем внешнюю силу в конце цикла прецессии – нутации, то остановка прецессии будет выглядеть абсолютно безынерционной, т.к. сам процесс её остановки, происходящий внутри цикла – нутации, вообще останется для нас «за кадром».

В классической физике отсутствие инерционности прецессии вектора (Lг) объясняется отсутствием его массы. Действительно, откуда у вектора масса, если это всего лишь математический символ? Но для реальной физики природы это вовсе не так безобидно. Если нет массы и соответственно сил инерции при остановке прецессии (Ми₁₂ = 0), то в соответствии с третьим законом Ньютона не должно быть и обычных сил (F₁) и (F₂), т.е. должен быть равен нулю и момент (М₁₂ = 0), запускающий прецессию безмассового вектора (Lг). Тогда, если в выражении для угловой скорости классического вывода прецессии мы приравняем к нулю (М₁₂ = 0), то получим и нулевую угловую скорость прецессии:

Ω = d φ / dt = M ₁₂ / L = M ₁₂ / (I * ω) = 0 / (I * ω) = 0

Это означает, что безмассовый вектор просто не может прецессировать.

Но и это ещё не все маразмы классической динамики вращения. Если в динамике вращательного движения твёрдого тела, когда вектор (L_Г) изменяется по направлению, его масса классической физике не нужна, то в динамике плоского вращения, когда вектор (L_Г) изменяется по абсолютной величине, он вдруг приобретает вполне реальную массу.

Все приведённые выше