Физические ошибки дифференцирования.

Согласно существующему определению производная функции (f (x)) в точке (x₀) при (∆х) в пределе стремящемся к нулю (∆х→0) равна:

f′ (x₀) = lim (f (x₀ ± ∆х) – f (x₀)) / ∆х)

В соответствии с определением предела при бесконечном стремлении аргумента, к некоторой точке (x₀) принадлежащей области значений аргумента, в которой функция (Y = f (x)) определена, аргумент, тем не менее, математически никогда не достигает точки (x₀), т.к. бесконечное стремление приращения аргумента (∆х) к нулю (∆х→0) делает бесконечным и сам путь к точке (x₀). Соответственно текущее значение функции (Y = f (x₀ ± ∆х)) так же никогда не достигает своего значения в заданной точке (Y = f (x₀)).

На основании этого свойства предела для величины погрешности (∆δ), которая отделяет текущее значение функции (f (x₀ ± ∆х)) от недостижимого значения функции в предельной точке (f(x₀)), в математике введено обозначение погрешности виде (∆δ = α(∆x)). При этом погрешность (α (∆x)) определяется выражением:   

± α (∆x) = f (x₀ ± ∆х) – f(x₀) = ± ∆δ

Если остановить стремление к нулю приращения аргумента (∆x→0) в какой–нибудь точке в области определения функции вблизи точки (x₀), то очевидно, что в правой части выражения для производной функции появится погрешность (± α (∆x):

∆f (x₀) / ∆x = f′ (x₀) ± α (∆x), где:

f′ (x₀) = f (x₀ ± ∆х) – f (x₀)

Умножив обе части выражения на (∆x), получим:

∆f (x₀) = f′ (x₀) ∆x ± α (∆x) * ∆x = f′ (x) dx ± α (dx) * dx,

где (f′ (x) dx) – есть алгебраический дифференциал функции, который применяется для приближённых вычислений.

При этом физический смысл дифференцирования для приближённых вычислений заключается в следующем. В малом интервале приращения аргумента (∆x) функции (Y = f(x)) якобы уменьшается и количество усредняемых значений функции. При этом среднее значение функции должно приближаться к её истинному значению в заданной точке, т.е. должна уменьшаться и погрешность дифференцирования (± ∆δ). Тогда функция должна определяться выражением:

f (x) = f (x₀) + f′ (x₀) dx + α (∆x) = f (x₀) + f′ (х₀) * (х₁ – х₀) ± α (∆x))

Выражение (f′ (x₀)) имеет физический смысл средней скорости изменения функции в интервале (∆x→0), которая при любом (∆x) всегда отличается от истинной скорости в предельной точке дифференцирования, что и даёт погрешность приращения функции в виде алгебраического дифференциала (f′ (x₀) dx). При этом поскольку с точки зрения современной математики при (∆x→0) погрешность так же должна стремиться к нулю, то её можно опустить, заменив знак равенства при определении функции методом дифференцирования знаком примерного равенства:

f (x) ≈ f (x₀) + f′ (x₀) dx

Считается, что с уменьшением интервала приращения аргумента, т.е. интервала дифференцирования, стремящегося к нулю (dx→0), стремится к нулю не только абсолютная погрешность дифференцирования (∆δ = f (x₀ ± ∆х) – f(x₀) = α (dx) * dx), но и его относительная погрешность (∆δ / (f′ (x) dx)), т.е.: 

(f (x₀ ± ∆х) – f(x₀)) / (f′ (x) dx) = α (dx) * dx / (f′ (x) dx) = α (dx) / f ′ (x) → 0

При этом стремление к нулю относительной погрешности математически объясняется стремлением к нулю её числителя, т.е. абсолютной погрешности (α (dx) → 0).

Таким физический смысл дифференцирования представлен в учебном пособии для студентов педагогических институтов по специальности 2120 «Общетехнические дисциплины и труд» под редакцией Г. Н. Яковлева, М, «Просвещение» 1988. Однако по нашему мнению классическое дифференцирование – это всего лишь оторванная от реальной действительности и внутренне противоречивая математическая абстракция, которая не имеет физического смысла.

Парадокс состоит в том, что при стремлении интервала дифференцирования к нулю и приближении к заданной точке уменьшается погрешность и повышается точность только достижения координат заданной точки, а вовсе не точность достижения истинного значения функции в заданной точке. Теоретически самые большие отклонения непредсказуемой переменной функции могут быть сосредоточены именно в непосредственной близости от заданной точки (x₀). При этом нет никакой гарантии существенного уменьшения погрешности определения значения функции вблизи точки (x₀) и соответственно нет никакого смысла в бесконечном стремлении к нулю интервала дифференцирования.

Таким образом, как это ни парадоксально, погрешность определения значения функции в заданной точке принципиально не зависит от величины интервала дифференцирования, что лишает классическое дифференцирование физического смысла приближённого вычисления. Даже в случае известного закона изменения функции, когда заранее известно, что вблизи точки (x₀) нет больших отклонений от значения функции в точке (x₀), для её определения не требуется никакого дифференцирования, т.к. по известной функции всегда можно определить её значение в любой точке прямым вычислением. При этом за дифференцированием сохраняется только физический смысл определения скорости изменения функции, что является рядовой задачей динамики.

Остаётся только один способ определения значения функций, изменяющихся по неизвестному закону. Это калибровочное дифференцирование по заданным калибрам-эталонам. Дифференцирование по своему физическому смыслу представляет собой обычное усреднение параметров переменной функции в некотором диапазоне её значений. Следовательно, при дифференцировании переменных функций фактически определяются их постоянные средние геометрические и динамические параметры. Но это и есть не что иное, как постоянные параметры равномерных функций, которые и являются природными физическими эталонами калибровочного дифференцирования.

Таким образом, при калибровочном дифференцировании фактически осуществляется сравнение переменных функций с заданными эталонами в виде равномерных функций, которые и являются природными измерительными эталонами калибровочного дифференцирования.

В отличие от классического дифференцирования калибровочное дифференцирование не стремиться к единственной заданной точке. Поскольку средние параметры определяются только на некотором достаточно протяжённом участке траектории, то геометрические точки в обычном дифференцировании превращаются в «криволинейные» и «прямолинейные» «точки», которые представляют собой дуги окружности для криволинейного движения и отрезки прямой линии для прямолинейного движения, имеющие хотя и предельно малую, исходя из требуемой точности, но всё же вполне конечную длину. При этом заданная точность достигается не за счёт близости к заданной точке, которая ни теоретически, ни практически не обеспечивает близость к значению функции в этой точке, как таковому, а за счёт степени совпадения целых характерных участков функции и калибровочного эталона.

Как мы отмечали выше, если в непосредственной близости от заданной точки (x₀) сосредоточены самые большие отклонения непредсказуемой переменной функции от её значения в этой точке, то существенной минимизации погрешности не получится. В калибровочном же дифференцировании за счёт пространственной конфигурации его протяжённой калибровочной «точки» совпадение с реальностью получается значительно более достоверное, даже в этом случае. Это в основном касается произвольного криволинейного движения. Кроме того, классическое дифференцирование не учитывает кривизну участка усреднения. В нём все участки условно прямолинейные. Это также вносит существенную дополнительную погрешность в классическое дифференцирование. Более подробно этот вопрос рассмотрен в главе (7.3.).

В калибровочном дифференцировании приращение аргумента (∆х) в производной функции будет стремиться не к нулю, а к соответствующему размеру прямолинейной или криволинейной точки, т.е. к (х_э). А сама эталонная функция с заданной точкой вписывается в измеряемую функцию Так, например, динамическими и кинематическими параметрами произвольной криволинейной функции будут параметры вписанной в неё в эталонной точке (х_э) равномерного вращательного движения, т.е. правильной окружности (см. гл. 7.3.). Это снимает все противоречия классического дифференциального исчисления, связанные с бесконечным стремлением к бесконечно малому.   

Причём, одна и та же точность усреднения для разных переменных функций в калибровочном дифференцировании может быть достигнута в разных по величине интервалах. Плавно изменяющаяся функция, значения которой в соседних точках отличаются незначительно, может быть с приемлемой точностью усреднена в достаточно большом интервале калибровочного дифференцирования. Для функции с резко отличающимися значениями такая же точность может быть достигнута уже только в значительно меньшем интервале. При этом размеры эталона выбираются только из соображений разумной достаточности для решения конкретной физической или практической задачи. При достижении эталонной функции достигается и заданная минимальная погрешность, равная (∆δ_э). Это делает бессмысленной всеобщую бесконечную минимизацию для непредсказуемой переменной функции в целом.

Любые отступления от физического смысла калибровочного дифференцирования приводят к дополнительной неустранимой методологической погрешности дифференцирования (∆ δ _м):

f (x) ≈ f (x₀) + f′ (x_э) dx + (± ∆δ_з) + (± ∆ δ _м)

При дифференцировании неравномерного прямолинейного движения дополнительной методологической погрешности в классическом дифференцировании нет, т.к. хотя в современной математике нет «прямолинейных точек», по факту дифференцирование прямолинейного движения в классической физике осуществляется именно в «прямолинейных точках», т.е. вдоль прямой линии. А вот дифференцирование произвольного криволинейного движения, которое в классической физике так же осуществляетсяв «прямолинейной точке» вместо «криволинейной точки», приводит к дополнительной методологической погрешности (± ∆ δ _м).

Дополнительная методологическая погрешность может либо минимизироваться в малом интервале времени, как, например, в классическом выводе центростремительного ускорения, хотя там минимизация это всего лишь подмена понятий, либо сохранять своё значение в любом интервале времени, как, например, в поворотном движении. Для того чтобы показать ошибочность классического дифференцирования, достаточно рассмотреть только эти два вида движения, т.к. они лежат в основе всех видов произвольного движения. Начнём с определения центростремительного ускорения равномерного вращательного движения.

Центростремительное ускорение якобы не равноускоренного движения, каковым в классической физике считается равномерное вращательное движение, как это ни странно, определяется с абсолютной точностью, как и ускорение равномерной функции. Количественная разгадка этой странности заключается в том, что в конечном итоге классическая физика фактически игнорирует собственную же неправильную методику. А странность классической методики состоит в том, что это отступление официально так и не признаётся классической физикой и соответственно математикой.

Закон изменения вектора линейной скорости любого движения геометрически отражает его годограф. Годограф линейной скорости равномерного вращательного движения представляет собой дугу окружности с радиусом равным вектору линейной скорости. Однако классический вывод формулы центростремительного ускорения (см. Рис. 17, О. Ф. Кабардин «ФИЗИКА» МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1991 или Рис. 3.1.2, гл. 3.1.), основанный на анализе соотношения сторон (АВ) и (СД) подобных треугольников (АОВ) и (СВД), принципиально сводится к определению центростремительного ускорения через прямолинейный разностный вектор (ΔV=СД).

Рис. 3.1.2

В малом интервале времени стороны (АВ) и (СД) в этих треугольниках мало отличаются от соответствующих им одноимённых дуг окружности, которые опираются на стороны (АВ) и (СД) как на хорды. Поэтому в классическом выводе формулы центростремительного ускорения стороны треугольников (АВ) и (СД) в пропорции (R/(V*∆t) ≈ V/∆V) фактически подменяются одноимёнными дугами, на которые они опираются и которые являются реальными годографами соответствующих векторов. При этом знак примерного равенства автоматически превращается в знак равенства.

Но это и есть подмена понятий «прямолинейной точки» понятием «криволинейной точки». И хотя ни того, ни другого в классической физике не существует, минимизируемый прямолинейный разностный вектор это фактически и есть «прямолинейная точка», которую в конце концов подменяют «криволинейной точкой» в виде дуги годографа линейной скорости. При этом в классическом выводе прямолинейный разностный вектор физически так официально и не превращается в «криволинейную точку». По крайней мере в выводе это никак не оговаривается. Следовательно, дуга годографа фактически является не элементом доказательства классического вывода, а элементом его опровержения.

Без признания «криволинейной точки» в классическом выводе центростремительного ускорения замена знака примерного равенства в классическом выводе на знак равенства является физически не законной. Классическая физика так и не объяснила научному сообществу, каким образом ускорение не равноускоренного движения может быть определено с абсолютной точностью приблизительным методом дифференцирования. А так же, зачем нужно было дифференцировать равномерную функцию равномерного вращательного движения, которая сама является абсолютным эталонным калибром произвольного криволинейного движения.

Но это не единственный маразм дифференцирования криволинейного движения в классической физике. В поворотном движении методологическая погрешность настолько велика, что её просто не возможно не заметить. Причём эта погрешность связана не только с отступлением от физического смысла дифференцирования, но и с ошибками многих классических теорем, касающихся в том числе самого годографа, явления Кориолиса (поворотного движения), классической теоремы о сложении ускорений Кориолиса, а так же теоремы о проекции ускорения точки на траектории на нормаль и тангенциальное направление. Это достаточно обширная тема, которая будет подробно рассмотрена в следующей главе (7.3).

В соответствии с классической методикой определения ускорения поворотного движения прирост радиуса переносного вращения осуществляется в отсутствие переносного вращения, а поворот радиуса переносного вращения в отсутствие изменения длины радиуса (см. гл. 4.). Поэтому классическая физика ошибочно рассматривает эти два приращения поворотного движения, как два разных и полноправных приращения поворотного движения, т.е. как две реальные составляющие общего приращения поворотного движения. При этом общее приращение поворотного движения, определяется в виде их суммы, т.е. фактически в виде дуги окружности с максимальным радиусом переносного вращения (см. главу 4.1, Рис. 4.1).

Однако реально приращение поворотного движения осуществляется на каждом текущем радиусе при каждом текущем угловом положении траектории относительного движения одновременно. Поэтому реальное приращение поворотного движения определяется длиной дуги окружности со средним радиусом приращения переносного движения. При этом поворот вектора относительной линейной скорости, т.е. её, годограф одновременно определяет, как её приращение по направлению, так и приращение линейной скорости переносного вращения по абсолютной величине (см. глава 4.1, Рис. 4.16). 

Совершенно очевидно, что длина дуги окружности приращения со средним радиусом вдвое меньше длины дуги окружности приращения с максимальным радиусом в любом интервале времени. Поэтому даже без учета методологической погрешности, связанной с отступлением классического дифференцирования от нормальной «криволинейной точки», погрешность поворотного ускорения Кориолиса составляет в классической физике ровно 100%.

При этом классическая сила Кориолиса совпадает по абсолютной величине с реальным общим силовым напряжением в точке возникновения силы Кориолиса, т.к. в реальной действительности, поддерживающей угловую скорость силе противодействует истинная сила Кориолиса, равная половине поддерживающей силы. Однако реальная кинематика и динамика криволинейного поворотного движения, как собственно и любого движения, характеризуется только не уравновешенной силой. Поэтому кинематика и динамика поворотного движения характеризуется только половиной классического ускорения Кориолиса.

Поворотное движение присутствует практически в любом произвольном криволинейном движении. Поэтому методологические ошибки определения приращения поворотного движения свидетельствуют не только о неправильной классической модели явления Кориолиса, но и о методологически неправильном дифференцировании сложного криволинейного движения во всей современной теоретической механике в принципе!