Расчёт ускорения Кориолиса классическим методом.

Рассмотрим простейший случай сложного движения (Рис. 7.1.1), в котором относительное движение равномерное и прямолинейное, а переносное движение осуществляется по окружности радиуса (r). Пусть движение происходит в одной плоскости, а вектор относительной скорости направлен вдоль радиуса поворотного вращения.

Рис.7.1.1

Найдем приращение абсолютного движения в геометрической интерпретации Н. Е. Жуковского и произведем его аналитический расчет. Все обозначения насколько это возможно для упрощённого варианта соответствуют Фиг. 46 в приведенной работе Жуковского. Определим координаты сложного движения в точке (F) в абсолютной системе координат через координаты подвижной системы координат, воспользовавшись таблицей девяти косинусов. Поскольку для простоты рассматриваемое движение осуществляется в одной плоскости, то нам понадобятся только четыре косинуса (см. рисунок 7.1.2).

 

Рис. 7.1.2

X = r_x + а * х + b * y =

= r * sin (ω * t) + (а * х = 0) + V * t * sin (ω * t)

Можно выразить координату (Х) непосредственно в абсолютной системе координат как проекции на (Х) радиуса (R = r + V * t). При этом получаем абсолютно идентичное выражение:

X = (r + V * t) * sin (ω * t) =

= r * sin (ω * t) + V * t * sin (ω * t);

Определим (Y):

Y = r_у +a₁ * x + b₁ * y =

= r * cos (ω * t) + (а₁ * х = 0) + V * t * cos (ω * t)

Можно выразить координату (Y) непосредственно в абсолютной системе координат как проекции на (Y) радиуса (R = r + V * t). При этом получаем абсолютно идентичное выражение:

Y = (r + V * t) * cos (ω*t) =

= r * cos (ω * t) + V * t * cos (ω * t);

Найдем абсолютную скорость и ускорение в точке (F). Для этого найдем первую и вторую производные приращения координат сложного движения

в точке (F).

dХ / dt = r * ω * cos (ω * t) + V * sin (ω*t) +

+ V * t * ω * cos (ω * t);

d²Х / dt² = – r * ω² * sin (ω * t) + V * ω * cos (ω * t) +

+ V * ω * cos (ω * t) – V * t * ω² * sin (ω * t) =

= – r * ω² * sin (ω * t) + 2 * V * ω * cos (ω * t) –

– V * t * ω² * sin (ω * t);

dY / dt = – r * ω * sin (ω * t) + V * cos (ω * t) –

– V * t * ω * sin (ω * t);

d²Y / dt² = – r * ω² * cos (ω * t)  – V * ω * sin (ω * t) –

– V * ω * sin (ω * t) – V * t * ω² * cos (ω * t) =

= – r * ω² * cos (ω * t) – 2 * V * ω * sin (ω * t) –

– V * t * ω² * cos (ω * t);

Возведем в квадрат производные (dX/dt) и (dY/dt) по правилу квадрата суммы трех слагаемых:

(dX / dt)² = r² * ω² * cos² (ω * t) + V² * sin² (ω * t) +

+ V² * t² * ω² * cos² (ω * t)+

+ 2*r * ω * V * cos (ω * t) * sin (ω * t) + 2 * V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t) + 2 * r * ω² * V * t * cos² (ω * t);

(dY / dt)² = r² * ω² * sin² (ω * t) + V² * cos² (ω * t) +

+ V² * t² * ω² * sin² (ω * t) – 2 * r * ω * V * cos (ω * t) *

* sin (ω * t) – 2 * V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t)+

+ 2 * r * ω² * V * t * sin² (ω * t);

Сложив два последних выражения, найдем квадрат

абсолютной скорости V ²абс:

V²абс = r² * ω² * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ V² * (sin² (ω * t) + cos² (ω * t)) +

+ V² * t² * ω² * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ 2 * r * ω * V * cos (ω * t) * sin (ω * t) +

(– 2* r * ω * V * cos (ω * t)* sin (ω * t)) +

+ 2 * V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t) –

– 2 * V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t)+

+2 *r * ω² * V * t * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t));

 

Учитывая, что:

1. слагаемые, отмеченные жирным курсивом (зеленый цвет), взаимно уничтожаются,

2. слагаемые, отмеченные жирным шрифтом (фиолетовый цвет) взаимно уничтожаются, 

3. сумма (cos² (ω*t) + sin² (ω*t)) = 1 (красный шрифт)

Окончательно получаем:

V _абс = √ (r ² * ω ² + V ² + V ² * t ² * ω ² + 2 * r * ω ² * V * t)    (7.1)

 Возведем в квадрат производные (d²X/dt²) и (d²Y/dt²) по правилу квадрата суммы трех слагаемых:

(d²Х / dt²)² = r² * ω⁴ * sin ² (ω * t) +

+ 4 * V² * ω² * cos ² (ω * t) + V² * t²* ω⁴ * sin ² (ω * t) –

– 4 * V * r * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) –

– 4 * t * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) +

+ 2 * V * r * t * ω⁴ * sin ² (ω * t);

(d²Y / dt²)² = r² * ω⁴ * cos ² (ω * t) +

+ 4 * V² * ω² * sin ² (ω * t) + V2 * t² * ω⁴ * sin² (ω * t) +

+ 4 * r * V * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) – 4 * t * V² * ω³ *

* cos (ω * t) * sin (ω * t) +2 * V * r * t * ω⁴ * cos ² (ω * t);

Сложив два последних выражения, найдем квадрат абсолютного

ускорения R²:

R² = r² * ω⁴ * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ 4 * V² * ω² * (sin² (ω * t) + cos² (ω * t)) +

+ V² * t² * ω⁴ * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) –

– 4 * r * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t ) +

+ 4 * r * V² * ω³ * cos (ω * t) * sin (ω * t) –

– 4 * t * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) +

+ 4 * t * V² * ω³ * cos (ω * t) * sin (ω * t) +

+ 2 * V * r * t * ω⁴ * sin ² (ω * t) +

+ 2 * V * r * t * ω⁴ * cos² (ω * t);

 Учитывая, что:

1. слагаемые, отмеченные жирным курсивом (зеленый цвет), взаимно уничтожаются,

2. слагаемые, отмеченные жирным шрифтом (фиолетовый цвет) взаимно уничтожаются, 

3. слагаемые, отмеченные подчеркнутым шрифтом (коричневый цвет) взаимно уничтожаются,

4. сумма (cos² (ω*t) + sin² (ω*t)) = 1 (красный цвет)

окончательно получаем:         

а _(абс)Ж = √(r ² * ω ⁴ + 4 * V ² * ω ² + 2 * V * r * t * ω ⁴)                            (7.2)

Теперь определим координаты сложного движения в точке (F) при движении к центру вращения:

X = r_x + а * х + b * y = r * sin (ω * t) + (а * х = 0) –

– V * t * sin (ω * t)

Можно выразить координату (Х) непосредственно в абсолютной системе координат как проекции на (Х) радиуса (R = r + V * t). При этом получаем абсолютно идентичное выражение:

X = (r + V * t) * sin (ω * t) = r * sin (ω * t) – V * t * sin (ω * t);

Определим (Y):

Y = r_у +a₁ * x + b₁ * y = r * cos (ω * t) + (а * х = 0) –

– V * t * cos (ω * t)

Можно выразить координату (Y) непосредственно в абсолютной системе координат как проекции на (Y) радиуса (R = r + V * t). При этом получаем абсолютно идентичное выражение:

Y = (r + V * t) * cos (ω * t) = r * cos (ω * t) –

– V * t * cos (ω * t);

Найдем абсолютную скорость и ускорение в точке (F) при движении к центру. Для этого найдем первую и вторую производные приращения координат сложного движения в точке (F).

dХ / dt = r * ω * cos (ω * t) – V * sin (ω * t) –

– V * t * ω * cos (ω * t);

d²Х / dt² = – r * ω² * sin (ω * t) – V * ω * cos (ω * t) –

– V * ω * cos (ω * t) + V * t * ω² * sin (ω * t) =

= – r * ω² * sin (ω * t) – 2 * V * ω * cos (ω * t) +

+ V * t * ω² * sin (ω * t);

dy / dt = – r * ω * sin (ω*t) – V * cos (ω * t) +

+ V * t * ω * sin (ω * t);

d²Y / dt² = – r * ω² * cos (ω * t) + V * ω * sin (ω * t) +

+ V * ω * sin (ω * t) + V * t * ω² * cos (ω * t) =

= – r * ω² * cos (ω * t) + 2 * V * ω * sin (ω * t) +

+ V * t * ω² * cos (ω * t);

Возведем в квадрат производные (dX/dt) и (dY/dt) по правилу квадрата суммы трех слагаемых:

(dX / dt)² = r² * ω² * cos² (ω * t) + V² * sin² (ω * t) +

+ V² * t² * ω² * cos² (ω * t) +

+ 4*r * ω * V * cos (ω * t)* sin (ω * t) –

–4 * V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t) – 2*r * ω² * V * t * cos² (ω * t);

(dY / dt)² = r² * ω² * sin² (ω*t) + V² * cos² (ω * t) + V² * t² *

* ω² * sin² (ω * t) –  

– 4* r * ω * V * cos (ω * t) * sin (ω * t) + 4 * V² * t * ω * sin (ω * t) * (ω * t) – 2 * r * ω² * V * t * sin² (ω * t);

Сложив два последних выражения, найдем квадрат абсолютной скорости V ²абс:

V ²абс = r² * ω² * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ V² * (sin² (ω *t) + cos² (ω * t)) +

+ V² * t² * ω² * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ 4 * r * ω * V * cos (ω * t)* sin (ω * t) +

– 4 * r * ω * V * cos (ω *t)* sin (ω * t) +

+ 4 *V² * t * ω * sin (ω * t) * cos (ω * t) –

– 4 * V² * t * ω * sin (ω*t) * cos (ω * t) +

– 2*r * ω² * V * t * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t));

Учитывая, что:

1. слагаемые, отмеченные жирным курсивом (зеленый цвет), взаимно уничтожаются,

2. слагаемые, отмеченные жирным шрифтом (фиолетовый цвет) взаимно уничтожаются, 

3. сумма (cos² (ω*t) + sin² (ω*t)) = 1 (красный цвет)

Окончательно получаем:

V _абс = √(r ² * ω ² + V ² + V ² * t ² * ω ² – 2 * r * ω ² * V * t)               (7.3)

Возведем в квадрат производные (d²X/dt²) и (d²Y/dt²) по правилу квадрата суммы трех слагаемых:

d²Х /dt² = – r * ω² * sin (ω * t) – V * ω * cos (ω * t) –

– V * ω * cos (ω * t) + V * t * ω² * sin (ω * t) =

= – r * ω² * sin (ω * t) – 2 * V * ω * cos (ω * t) +

+ V * t * ω² * sin (ω * t);

(d²Х /dt²)² = r² * ω⁴ * sin ² (ω * t) + 4 * V² * ω² * cos ² (ω * t) +

+ V² * t²* ω⁴ * sin ² (ω * t) + 4 * V * r * ω³ * sin (ω *t) *

* cos (ω * t) – 4 * t * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) –

– 2 * V * r * t * ω⁴ * sin ² (ω * t);

d²Y /dt² = – r * ω² * cos (ω * t) + V * ω * sin (ω * t) + V * ω *

* sin (ω * t) + V * t * ω² * cos (ω * t) = – r * ω² * cos (ω*t) +

+ 2 * V * ω * sin (ω*t) + V * t * ω² * cos (ω*t);

(d²Y /dt²)² = r² * ω⁴ * cos ² (ω * t) + 4 * V² * ω² * sin ² (ω * t) +

+ V² * t² * ω⁴ * sin² (ω * t) – 4 * r * V * ω³ * sin (ω * t) *

* cos (ω * t) + 4 * t * V² * ω³ * cos (ω * t) * sin (ω * t) –

– 2 * V * r * t * ω⁴ * cos² (ω * t);

Сложив два последних выражения, найдем квадрат безусловного ускорения R²:

R² = r² * ω⁴ * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) +

+ 4 * V² * ω² * (sin² (ω * t) + cos² (ω * t)) +

+ V² * t² * ω⁴ * (cos² (ω * t) + sin² (ω * t)) –

– 4 * r * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t ) +

+ 4 * r * V² * ω³ * cos (ω * t) * sin (ω * t) –

– 4 * t * V² * ω³ * sin (ω * t) * cos (ω * t) +

+ 4 * t * V² * ω³ * cos (ω * t) * sin (ω * t) –

– 2 * V * r * t * ω⁴ * sin ² (ω * t) –

– 2 * V * r * t * ω⁴ * cos² (ω * t);

 Учитывая, что:

1. слагаемые, отмеченные жирным курсивом (зеленый цвет), взаимно уничтожаются,

2. слагаемые, отмеченные жирным шрифтом (фиолетовый цвет) взаимно уничтожаются,

3. слагаемые, отмеченные подчеркнутым шрифтом (коричневый цвет) взаимно уничтожаются,

4. сумма (cos² (ω*t) + sin² (ω*t)) = 1 (красный цвет)

Окончательно получаем:                

а _(абс)Ж = √(r ² * ω ⁴ + 4 * V ² * ω ² – 2 * V * r * t * ω ⁴)         (7.4)