Расчёт ускорения Кориолиса через годограф абсолютной скорости.

Рассмотренный пример сложного движения представляет собой, движение тела вдоль радиуса вращающейся системы с учетом ускорения Кориолиса. Траекторией такого движения является спираль. Абсолютное ускорение при движении тела по спирали характеризуется преобразованием величины скорости, связанной с изменением ее направления и непосредственным изменением вектора скорости по абсолютной величине. Изменение абсолютной скорости движения тела во всем диапазоне ее изменения по любой произвольной траектории определяет годограф абсолютной скорости.

Рис. 7.2.1

На Рис. 7.2.1 изображен годограф скорости движения тела по спирали для рассматриваемого сложного движения.

Определим абсолютное ускорение движения тела по спирали в интервале времени (Δt). Длину годографа (АС) в интервале времени (Δt) можно определить из прямоугольного треугольника (АВС) или (АДС) по теореме Пифагора, как корень квадратный из суммы квадратов катета (ВС=АД) и катета (АВ) или (ДС) соответственно:

АС_(ΔАВС) = √ (ВС² + АВ²)  

АС_(ΔАДС) = √ (АД² + ДС²)

(АВ) и (ДС) определяются как длина окружности с радиусом (Vc(t)) и (Vc(t₁)) соответственно за время (Δt):

АВ = Vc(t) * ω * Δt                                                                                                                                        

ДС = Vc(t₁) * ω * Δt

Определим (ВС = АД):

ВС = АД = (Vс(t₁) – Vс(t)) * Δt,

где скорости спирали Vc(t) в каждый текущий момент времени определяются по теореме Пифагора, как корень квадратный из суммы квадратов абсолютной величины вектора переносной скорости (Ve(t)) и вектора радиальной скорости (Vr(t)):

Vc (t) = √ (Ve² (t) + Vr² (t))

Vc (t₁) = √ (Ve² (t₁) + Vr² (t₁))

Тогда АС_(АВС) и АС_(АДС) соответственно равны:                                                      

АС_(ΔАВС) = √ (ВС² + АВ²) =

= √(((Vс(t₁) – Vс(t)) * Δt) ² + (Vc(t) * ω * Δt)²)                             (7.5)

АС_(ΔАДС) = √ (АД² + ДС²) =

=  √(((Vс(t₁) – Vс(t)) * Δt) ² + (Vc(t₁) * ω * Δt)² )                         (7.6)

 Для уменьшения погрешности, связанной с неточным соответствием углов (АВС) и (АДС) прямому углу, а также погрешности связанной с линеаризацией кривых (АС), (АВ) и (ДС) определим (АС) как среднее значение (7.5) и (7.6):                                                

АС = (АС_(ΔАВС) + АС_(ΔАДС)) / 2 =

= (√(((Vс(t₁) – Vс(t)) * Δt) ² + (Vc(t) * ω * Δt)²) +

+ √((((Vс(t₁) – Vс(t)) * Δt) ² + (Vc(t₁) * ω * Δt)²) ) / 2

Тогда абсолютное ускорение, определённое через годограф абсолютнолй скорости равно:                                                                                                              

а _(абс) Г = АС / Δ t =

= (√(((V с(t ₁) – V с(t)) * Δt) ² + (Vc (t) * ω * Δt)²) +

+ √((((V с(t ₁) – V с(t)) * Δt) ² + (Vc (t ₁) * ω * Δt)²)) / 2 / Δ t            (7.7)

При этом ускорение Кориолиса определяется, как корень квадратный из разности квадратов абсолютного ускорения по формуле (7.7) и центростремительного ускорения переносного вращения. Поскольку радиус переносного вращения не является величиной постоянной, то центростремительное ускорение переносного вращения определим, как среднее центростремительное ускорение в рассматриваемом интервале времени.

Тогда ускорение Кориолиса равно:

а (к) =√ ((7.7)² – ((а _цт(t ₁) + а _цт(t))/2)²)                                                                    (7.8)

С другой стороны длину годографа (АС) можно определить, как дугу окружности со средним радиусом равным:

Vc(_ср.) = ( Vc(t) + Vc(t₁) ) /2

Тогда (АС) равно:

АС = Vc(_ср.) * ω * Δt = ((Vc(t) + Vc(t₁)) / 2) * ω * Δt                                   (7.9)

С учётом (7.9) абсолютное ускорение через годограф равно:

а _(абс) Г = АС / Δ t = (((V с(t) + V с(t ₁))/2) * ω * Δt) / Δt =

=  ((V с(t) + V с(t ₁)) / 2) * ω                                                            (7.10)

Тогда ускорение Кориолиса равно:

а (к) =√ ((7.10)² – ((а _цт(t ₁) + а _цт(t)) / 2)²)                                                                                     (7.8*)

Рис. 7.2.2

На (Рис. 7.2.2 и 7.2.3) показаны графики ускорения Кориолиса вблизи центра переносного вращения (7.2.2) и во всем исследуемом диапазоне (7.2.3) соответственно (расчёт см. в файле Microsoft Excel FVRaschet – http://alaa.ucoz.ru/FVRaschet.xlsx). Как видно из приведенных графиков, построенных по формулам (7.8), (7.8*), достоверно определённое через годограф абсолютной скорости значение геометрического ускорения Кориолиса с максимальной относительной погрешностью 0,031% соответствует нашей версии поворотного движения. То есть контрольный независимый метод даёт результат вдвое меньше классического ускорения Кориолиса.

 

Рис. 7.2.3

Формула (7.12) принципиально аналогична формулам (7.8 и 7.8*), только абсолютное ускорение в нём определяется не на участке (Δ t), а по формуле центростремительного ускорения через текущую скорость спирали в точке (А), см. Рис. (7.2.1). При этом переносное центростремительное ускорение также определяется в точке (А). Правомерность этого метода определения ускорения Кориолиса и, прежде всего, правомерность определения абсолютного ускорения криволинейного движения как центростремительного ускорения движения по вписанной окружности подробно обоснована в следующем подразделе настоящей главы (7.3.).