Закон сохранения момента импульса против классической динамики вращательного движения.

Уравнение моментов «выведено» из динамики Ньютона, в которой сумма всех сил может быть равна нулю только в замкнутых системах. Это же отражено и в определении закона сохранения момента импульса:

«Момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени».

Однако, классическая динамика вращательного движения, в которой система из одного тела считается замкнутой только потому, что в ней сохраняется произведение импульса тела на радиус, а сам импульс и энергия тела при этом изменяются, противоречит динамике Ньютона и закону сохранения импульса. В природе нет закона сохранения момента импульса, есть второй закон Кеплера, или постоянная Кеплера, которая в классической динамике вращательного движения не имеет физического обоснования и формально математически получена без учёта реальных сил, обеспечивающих это явление природы.

В отсутствие внешних моментов уравнение моментов равно нулю:

М = dL / dt = d (m * V * r) / dt = 0

Из этого формально–математически следует:

L = m * V * r = const

или

m * V₁ * r₁ = m * V₂ * r₂

После сокращения на массу получаем:

V₁ * r₁ = V₂ * r₂

или

r₁ / r₂ = V₂ / V₁

или                                                                                                      

r₁² / r₂² = ω_{2 /} ω₁

Из математики действительно следует, что производная константы равна нулю. Однако это вовсе не означает отсутствия сил в постоянном произведении (m * V * r) с переменным радиусом. Наоборот, с учётом постоянной массы оно может быть постоянным при переменном радиусе исключительно только при наличии внешней силы, которая изменяет импульс обратно пропорционально радиусу. В этом и состоит физический смысл второго закона Ньютона и второго закона Кеплера в отличие от бессмыслицы классической динамики вращательного движения в целом и закона сохранения момента импульса частности.

В мерной динамике вращательного движения этого абсурда нет. Если мы приравняем к нулю вращающую силу, то, точно так же, как и в динамике Ньютона, мы получим всего лишь нулевое произведение массы на ускорение, т.е. нулевую силу, что и обеспечивает сохранение импульса:

0 = m * а _рад = К * m * ε = 0

Из этого следует, что закон сохранения импульса един в любой динамике:

К * m * ω = m * V_рад = const

Это соответствует обычному равномерному вращательному движению, которое в соответствии с классическим законом сохранения момента импульса не может быть движением по инерции по аналогии с первым законом Ньютона, т.к. в классической физике вращательное движение якобы может изменять своё состояние и без сил, только за счёт изменения момента инерции (см. Н. В. Гулиа «Удивительная физика»)!Ё! Однако, как следует из мерной динамики – это полная чушь. Вращательное движение с нулевой силой, т.е. равномерное вращательное движение, строго соответствует первому закону Ньютона. Это и есть недостающее звено классической аналогии динамики вращательного движения с динамикой Ньютона.   

Если уж уравнение моментов по версии классической физики якобы соответствует второму закону Ньютона, то частичная аналогия без первого закона Ньютона противоречила бы динамике Ньютона в целом, что бросало бы тень и на всю вращательную динамику. Оказывается, есть полная аналогия мерной динамики вращательного движения с динамикой Ньютона, т.к. мерная динамика собственно и есть динамика Ньютона, адаптированная для радиальных систем отсчёта.  При помощи эталона углового перемещения – мерного радиана, полностью эквивалентного эталону длины – метру, мерная динамика вращательного движения позволяет полностью исключить нефизические понятия классической динамики вращательного движения.

 

Момент силы можно заменить понятием приведённая сила, – чем больше радиус, тем больше приведённая сила. Если вопрос сравнения сил не стоит, то можно говорить – закручивающая сила или просто сила, т.е. без прилагательного приведённая.

Момент инерции может быть заменён понятием приведённое рычажное сопротивление или проще рычажное сопротивление. Чем больше радиус, тем больше рычажное сопротивление приведённой силе. При этом квадрат радиуса, т.е. лишний для физики и для математики радиус исключается в любом случае, т.к. рычажное сопротивление прямо пропорционально только первой степени радиуса.

Момент импульса следует заменить понятием постоянная Кеплера, а закон сохранения момента импульса – вторым законом Кеплера. Собственно этот закон уже есть, необходимо только исключить его второе нефизическое название – закон сохранения момента импульса.

 

Трудно подсчитать вред, который нанесла науке и в частности динамике Ньютона классическая динамика вращательного движения с её моментами, которых в природе не существует. Целые разделы классической теоретической механики, посвященные этим несуществующим в природе вопросам, а так же сложнейшие теоретические расчёты моментов инерции геометрически правильных и неправильных физических тел это есть не что иное, как занимательная математика, никак не связанная с физикой. Все эти задачи могут быть успешно решены динамикой Ньютона через меру пространства в радиальных системах отсчёта.

Поскольку никакого иного пространства, кроме Ньютоновского, в природе не существует, то не существует и никакой особой динамики вращательного движения, отличающейся от ньютоновской динамики. Даже приведённую выше мерную динамику вращательного движения правильнее называть не динамикой вращательного движения, а динамикой механического движения в радиальной системе отсчёта или динамикой Ньютона для угловых перемещений.

В любой системе отсчёта есть только одна мера единого пространства – метр, он же мерный радиан. Поэтому вся специфика динамики вращательного движения, как якобы особой динамики механического движения состоит только в том, что количество длины ньютоновского пространства в радиальной системе отсчёта приведено в соответствие с количеством длины ньютоновского пространства в прямоугольной системе отсчёта.

***

Через меру вращения – размерный радиан [м_о] можно выразить и полное уравнение динамики вращательного движения, учитывающего затраты центробежной силы на преобразование движения по направлению в виде энергии связи (Есв), о чём говорилось в начале настоящей главы.

Центробежная сила равна:

F_ц.б. = m * ω² * r

Тогда полная динамика вращательного движения будет определяться уравнением:

F_п = F_рад + F_ц.б. = m * ε * r / r_о + m * ω² * r =

= m * (а _рад * К + ω² * r)

Можно выразить центростремительное ускорение через параметры приведённого вращения:

Сначала найдём угловую скорость:

ω = ω_рад * r_о / r

Тогда:

а _ц.б. = (V² _рад * r² _о / r²) * r = V² _рад * r² _о / r

Тогда полная закручивающая сила равна:

F_п = m * (а _рад * К + V² _рад * r² _о / r)

С учетом, что мера r_о = 1

а_ц.б = V² _рад * r²_о / r = V² _рад / r = а_{рад ц.б}

Тогда:

F _п = m * (а _рад * К + а_{рад ц.б.})

Как будет показано в главе (7.3.):

F_рад = F_{рад К} – сила Кориолиса

F_ц.б. = F_{ц.б. е} – центробежная сила переносного вращения

Тогда по теореме Кориолиса:

F _п = F _{рад К} + F _{ц.б. е}

В общем случае полная закручивающая сила обеспечивает абсолютное ускорение произвольного криволинейного движения. Более подробно это изложено в главе 7.3. Здесь же нам это понадобится для теоретического вывода закона сохранения момента импульса на основе реальной физической модели движения под действием неуравновешенной силы из динамики Ньютона.

***

В движении с переменным радиусом ни энергия, ни импульс не сохраняются. Следовательно, так называемый закон сохранения углового момента, а в реальной действительности второй закон Кеплера, в отличие от закона сохранения импульса в отсутствие внешних сил, может быть выведен только исходя из реальной энергетики именно неуравновешенного движения. Рассмотрим физический механизм преобразования видов вращательного движения по радиусу на примере переносного вращения с радиальным движением, направленным, например, от центра вращения.

Обратим внимание, что, как мы отмечали выше, с учётом постоянной массы момент импульса при переменном радиусе может быть сохранён исключительно только при наличии внешней силы, которая изменяет импульс обратно пропорционально радиусу. Причём это условие обеспечивается вовсе не при любой радиальной силе.

Хотя радиус и линейная скорость изменяются соответственно прямо и обратно пропорционально одной и той же радиальной силе, коэффициент пропорциональности у них может быть разный в зависимости от силы. Для радиальной скорости он всегда равен величине ускорения, как для удлинения, так и для укорочения радиуса. А для линейной скорости с удлиняющимся радиусом при силе равной текущей ЦСС он равен нулю.

Это минимальный коэффициент, который означает, что скорость перестаёт изменяться в сторону уменьшения, т.е. остаётся равной линейной скорости до удлинения. Это ограничение скорости удлинения сверху. Иначе коэффициент пропорциональности изменения скорости в угловом моменте перестанет соответствовать коэффициенту изменения радиуса в нём, т.е. перестанет соблюдаться условие выполнения закона сохранения момента импульса.

При превышении этой границы, после прекращения удлинения начнутся беспорядочные колебания сначала в радиальном направлении, а затем и во всех остальных. При этом за счёт потерь скорость уменьшится до такой величины, что новое вращение вообще не образуется. Не говоря уже о законе сохранения углового момента. А поскольку эта граница определяется текущей ЦСС в каждой точке удлинения радиуса, сила упругости которого пропорциональна удлинению, т.е. линейная, то на всём участке удлинения можно воспользоваться средней ЦСС (ЦБС).

С учётом сказанного весь процесс для удлиняющегося радиуса можно разбить на три этапа:

 

1. Полный разрыв связи вращающегося тела с центром вращения. При этом прежняя энергия связи полностью рассеивается в пространстве, а прежнее вращательное движение полностью прекращается.

2. Движение тела по инерции с линейной скоростью, которую оно имело перед разрывом.

3. Захват тела новым связующим телом с достигнутым удлинением. При этом поскольку прежняя энергия связи безвозвратно рассевается в пространстве, то новая энергия связи, необходимая для установления нового вращения (энергия остаточной деформации) может быть изъята только из энергии прежнего окружного движения (Ек₁). Оставшаяся часть – это и есть энергия (Ек₂) нового окружного движения с новой линейной скоростью (V2).

 

Итак, пусть исходная линейная скорость (V₁) соответствует кинетической энергии (Ек₁). При образовании нового вращательного движения с удлиняющимся радиусом за счёт отрицательной работы внешней радиальной силы, равной изменению ЦСС (ЦБС) на участке, равном разности радиусов (Δr = r₂ – r₁), кинетическая энергия (Ек₁) понизится до (Ек₂), а линейная скорость (V₁) соответственно до (V₂).

Математически это можно выразить следующим образом:

Ек₂ = Ек₁ – Ецсс,

где

Ек₁ = m * V₁² / 2

Ецб = m * а_цс * Δr

Определим ЦСС (ЦБС). Начальное и конечное значения силы упругости связующего тела на удлинении (Δr) равно ЦСС для начальной и конечной линейной скоростью (V₁) и (V₂) соответственно. А поскольку сила упругости изменяется прямо пропорционально удлинению, т.е. линейно, то новая энергия связи, как мы отмечали выше, эквивалентна работе средней ЦСС (Fцсс_ср) со средним центростремительным ускорением, определяющимся средней линейной скоростью и средним радиусом.

Fцб_ср = m * (½ * (V₁ + V₂)) ² / ((r₂ + r₁)/2) =

= ¼ * m * (V₁ + V₂) ² / ((r₂ + r₁)/2) = ½ * m * (V₁ + V₂) ² / (r₂ + r₁)

Тогда работа средней ЦСС (Fцсс_ср) на участке (Δr = r₂ – r₁) равна:

Ецсс = Fцсс_ср * Δr = m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

С учётом значений (Ек₁) и (Ецсс) кинетическая энергия нового окружного движения, определяющаяся по формуле для удлиняющегося радиуса (Ек₂ = Ек₁ – Ецсс, см. выше) равна:

Ек₂ = m * V₂²/2 = m * V₁²/2 – m * (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁)

Покажем последовательные преобразования полученного выражения для (Ек₂), предварительно сократив его на множитель (m):

V₂²/2 = V₁²/2 – (½ * (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² = V₁² – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² – V₁² = – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₂ – r₁)) / (r₂ + r₁);

V₂² – V₁² = – (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)) / (r₂ + r₁);

V₂² * r₁ + V₂² * r₂ – V₁² * r₁ – V₁² * r₂ = (V₁² + 2 * V₁* V₂ + V₂²) * (r₁ – r₂)

V₂² * r₁ + V₂² r₂ – V₁² * r₁ – V₁² * r₂ = V₁² * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₁ +

+ V₂² * r₁ – V₁² * r₂ – 2 * V₁* V₂ * r₂ – V₂² r₂;

2 * V₂² r₂ – 2 * V₁² * r₁ – 2 * V₁* V₂ * r₁ + 2 * V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ – V₁² * r₁ – V₁* V₂ * r₁ + V₁* V₂ * r₂ = 0;

V₂² r₂ + (V₁* r₂ – V₁* r₁) * V₂ – V₁² * r₁ = 0;

Последнее уравнение, полученное после преобразования и сокращения, представляет собой квадратное уравнение вида:

А * х² + В * х – С = 0,

где

х = V₂

Корни этого уравнения определяются по формуле:                 

х_1,2 = (– В ± √Д) / 2 * А,

где дискриминант Д равен:

Д = В² + 4 * А * С

Определим Д:

Д = (V₁* r₂ – V₁* r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₁² * (r₂ – r₁)² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ – 2 * V₂² * r₂ * r₁ + r₁² + 4 * V₂² * r₂ * r₁ =

= V₂² * r₂ + 2 * V₂² * r₂ * r_{1 +} r₁² = V₁² * (r₂ + r₁)²

Найдём корни:

V_{2 (1)} = (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ + V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ + V₁ * r₁ + V₁ * r₂) / 2 * r₂ = V₁ * r₁ / r₂

V_{2 (2)} = (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ – V₁ * (r₂ + r₁)) / 2 * r₂ =

= (V₁ * r₁ – V₁ * r₂ – V₁ * r₁ – V₁ * r₂) / 2 * r₂ = – V₁ / 2

Второй корень (V₂₍₂₎) отбрасываем, т.к. линейная скорость (V₁) – положительная по отношению к первоначальному направлению окружного движения.

Тогда (V₂ = V_{2 (1)}),

то есть

V₂ = V₁ * (r₁ / r₂)                                                                                  (3.4.1)

или

V₁ * r₁ = V₂ * r₂                                                                                    (3.4.2)

Очевидно, что тело не может двигаться к центру вращения по инерции в случае укорачивающегося радиуса. Здесь возможен только силовой вариант. Однако и здесь необходимо соблюдать условия выполнения закона сохранения момента импульса. Если радиальная сила превысит текущую ЦСС (ЦБС) и соответствующую линейную скорость, то никакого закона сохранения момента импульса не получится. Будет как и в варианте с превышением скорости при удлинении радиуса (см. выше). Следовательно, для выполнения закона сохранения момента импульса при укорачивающемся радиусе радиальная сила, как и в случае с удлиняющимся радиусом не должна превышать среднюю ЦБС (ЦСС) на участке изменения радиуса.

Таким образом, из приведённого вывода следует, что так называемый закон сохранения момента импульса или постоянная Кеплера определяется реальными внешними радиальными и тангенциальными силами вращательного движения, подробно рассмотренными в (гл. 3.4.), что противоречит аналогии закона сохранения углового момента с моментом сохранения импульса. Всё, что не связано с энергией самого вращения – является внешним для вращения, даже если это внутренняя энергия элементов самой конструкции вращающейся системы, но не задействованная непосредственно в механизме формирования вращения.

Из этого следует, что классическая физика напрасно проводит параллель закона сохранения импульса с законом сохранения углового момента, в котором не сохраняется ни энергия, ни импульс. В случае переменного радиуса он выполняется исключительно только при наличии внешних сил, что противоречит не только с закону сохранения импульса, но и вообще каким-либо законами сохранения.

Наоборот, если работа внутренних сил вращающейся системы направлена на что то иное, помимо механизма вращения, то угловой момент не сохраняется, как например, в случае, когда сокращение радиуса происходит в результате наматывания нити на цилиндрическую ось исключительно только за счёт механизма вращения, т.е. за счёт внутренней энергии непосредственного самого вращения (см. Рис 3.4.3).

Рис 3.4.3

Точка (О1) на рисунке – это центр одного из вновь образуемых вращений с изменяющимся радиусом (ТО1) вдоль поверхности цилиндрической оси. Поскольку нить наматывается исключительно за счёт линейной скорости, то дополнительной энергии для увеличения линейной скорости в процессе сокращения радиуса просто нет. Поэтому при сокращении радиуса (ТО1) радиальная скорость (Vрад) может быть только частью линейной скорости (Vл). При этом тангенциальная скорость Vтанг – это оставшаяся часть (Vл).

При этом суммарная линейная скорость спирали с осью в точке (О1) – (Vсум О1) не может превысить линейную скорость Vл. На рисунке показано, что сумма (Vрад + V танг. = Vсум О1 = Vл). А с учётом потерь линейная скорость спирали (Vсум О1 < Vл). Кроме того, Vрад имеет отрицательную проекцию (-Vл) на касательную к окружности с радиусом (ОТ), т.е. относительно оси (О) суммарная линейная скорость (V сум О) будет ещё меньше, чем (Vсум О1).

Кстати, именно эти неявные, но вполне реальные внешние тангенциальные силы, проявляющиеся при изменении радиуса, и являются физической основой явления Кориолиса.

Для того чтобы различать силу преобразования видов вращательного движения по радиусу и классическую силу Кориолиса, но при этом сохранить обозначение их общей природы и историческую преемственность, мы предлагаем назвать неявные тангенциальные силы, возникающие при радиальном движении – истинными силами Кориолиса. Хотя их с не меньшим основанием можно назвать силами Кеплера. Истинные силы Кориолиса или силы Кеплера, хотя и совпадают с силами Кориолиса по направлению, однако, в отличие от сил Кориолиса это вполне реальные обычные силы.

Задача определения любой тангенциальной силы вращательного движения с изменяющимся радиусом может быть успешно решена безо всяких моментов чего–то почему–то и связанных с ними парадоксов с помощью мерного радиана [м_о]. Это будет показано в следующей главе (4.2.) на примере определения явных и неявных сил явления Кориолиса–Кеплера.