Геометрический вывод ускорения Кориолиса Н. Е. Жуковского.

 

Жуковский Н. Е. в работе «Теоретическая механика» издание второе, ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАНИЕ ТЕХНИКО–ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА–ЛЕНИНГРАД 1952 предлагает следующий графический вывод формулы ускорения Кориолиса (см. фотокопии ниже):

Относительное движение в работе Жуковского криволинейное. Значит, в рассматриваемом случае присутствует нормальная составляющая относительной скорости. Однако, хотя Жуковский рассматривает наиболее общий случай сложного движения, в котором теоретически присутствует радиальная и нормальная составляющие относительного движения, в его выводе фактически приводится физический механизм определения ускорения Кориолиса только для радиального относительного движения.

В соответствии с академическим понятием о девиации траектория относительного движения в выводе Жуковского раскладывается на девиацию и условную траекторию в виде прямой линии, пройденную движущейся точкой за время (τ) с постоянной относительной скоростью (u), которую имела движущаяся точка в относительном движении в начальный момент рассматриваемого интервала времени. При этом приращение поворотного движения определяется как длина дуги (QN), описанной радиусом (OQ = DQ * sin θ = u * τ * sin θ), являющимся радиальной составляющей условной траектории относительного движения (DQ) в отсутствии ускорения относительного движения, осуществляющегося со скоростью (u) за время (τ). Проекция условной траектории относительного движения (DQ) на перпендикулярное радиусу направление Жуковским не рассматривается.

Девиация относительного движения (NF) некоторым образом учитывает нормальную составляющую относительного движения. Однако девиация (NF) геометрически начинается из конечной точки дуги (QN), которая соответствует окончанию поворотного движения в рассматриваемом интервале времени (τ). Следовательно, положение точки (F) и величина девиации относительного движения (NF) никоим образом не могут влиять на длину отрезка (QN), который Жуковский и рассматривает в своём выводе как приращение поворотного движения.

Несмотря на то, что в соответствии с переносным вращением фактически осуществляется поворот всей траектории относительного движения (АС), приращение поворотного движения определяется Жуковским только по повороту проекции условной траектории относительного движения на радиальное направление. Проекция условной траектории относительного движения на перпендикулярное радиусу направление и приращение поворотного движения при относительном движении, перпендикулярном радиусу, которое с классической точки зрения также происходит за счёт ускорения Кориолиса, в работе Жуковского не определены ни геометрически, ни физически.

Таким образом, в выводе Жуковского фактически речь идёт исключительно об ускорении Кориолиса, проявляющемся при радиальном относительном движении, несмотря на попытку представить его как вывод ускорения Кориолиса в общем случае сложного движения при произвольном направлении относительного движения. Связь ускорения Кориолиса, проявляющегося при радиальном относительном движении с полным ускорением Кориолиса, Жуковским физически не установлена. Поэтому в выводе Жуковского не может считаться доказанным соответствие формулы вида (66.7) общему ускорению Кориолиса при произвольном направлении относительного движения.

К тому же, как и во всех предыдущих случаях, рассмотренных выше, вызывает сомнение правильность определения приращения поворотного движения при радиальном относительном движении. Жуковский также как и все другие авторы, рассматривающие явление Кориолиса, при определении девиации поворотного движения не учитывает изменение радиуса элементарного поворота внутри бесконечно малого интервала времени поворотного движения.

Классическая теоретическая механика утверждает, что всякое перемещение неизменяемой системы может быть достигнуто одним поступательным движением и одним вращательным движением. Траектория относительного движения перемещается поступательно вдоль траектории переносного движения до точки соответствующей конечному моменту рассматриваемого интервала времени. Затем траектория относительного движения поворачивается относительного мгновенного центра вращения подвижной системы координат на угол, соответствующий повороту радиуса переносного движения за рассматриваемый интервал времени.

Таким образом, легко получить координаты движущейся точки на абсолютной траектории для времени (τ). Однако одних только координат движущейся по абсолютной траектории точки в конце рассматриваемого интервала времени недостаточно для определения абсолютного ускорения. Необходимо учитывать реальную траекторию движения точки внутри рассматриваемого интервала времени, т.е. необходимо знать все текущие координаты составляющих абсолютного движения в рассматриваемом минимальном интервале времени дифференцирования.  

В выводе Жуковского в поворотном движении участвует не вектор радиальной составляющей относительной скорости, а проекция (ОQ) условной траектории относительного движения (DQ = DN) за время (τ) на радиус переносного вращения. Таким образом, речь идёт не о приращении вектора радиальной скорости по направлению, т.е. годографе радиальной скорости, а о приращении поворотного пути, пройденного за счёт поворотного ускорения за время (τ) или о девиации поворотного движения, которая, как мы установили выше, не может быть равна длине дуги (QN). Приращение поворотного движения можно определить и через годограф радиальной составляющей относительной скорости. Однако при этом необходимо помнить, что дополнительное приращение радиальной скорости – есть полное приращение поворотного движения. В работе же Жуковского речь идёт об определении ускорения Кориолиса именно через классическую девиацию поворотного движения.

Поскольку отрезок (QN) в выражении (54) рассматривается как девиация поворотного движения (QN_Д), то его величину необходимо определять с учётом реального поворотного движения, в котором радиус поворота (ОQ), связанный с переносным вращением непрерывно изменяется за счёт радиальной составляющей относительного движения, в том и числе и внутри минимального интервала времени (τ).

Девиация поворотного движения, как мы установили выше, равна дуге окружности, описанной средним радиусом поворотного вращения за рассматриваемый минимальный интервал времени дифференцирования. Только с учетом среднего радиуса поворотного движения в минимальном интервале времени выражение (54) Жуковского можно считать правомерным.

Во время реального поворотного движения радиус поворотного движения за время (τ) изменяется от нуля в момент времени (t), когда (τ = 0) до максимального значения (ОQ), равного (ОQ = u * τ * sinθ) в момент времени (t+τ). Поэтому для расчета девиации поворотного движения (QN_Д) необходимо учитывать средний радиус поворотного движения (u * τ * sin θ / 2) равный половине (ОQ) аналогично тому, как мы это делали при определении ускорения Кориолиса через девиацию поворотного движения (см. главу 4.1 ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ ПРОЯВЛЕНИЯ УСКОРЕНИЯ КОРИОЛИСА, СКОРОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НАПРАВЛЕНА ВДОЛЬ РАДИУСА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ, Рис.4.1.5).

Следовательно, девиация (QN_Д) равна:

QN_Д = (1 / 2) * (ОQ) * ω * τ * sin θ = (1 / 2) * (u * τ) * ω *

* τ * sin θ = (1/2) * u * ω * τ² * sin θ = (τ² / 2) * u * ω * sin θ

Девиация криволинейного движения определяется формулой для пути прямолинейного равноускоренного движения:

 S = a * t² / 2 

Заменив ускорение (а) ускорением Кориолиса (k), а время t временем (τ) получим для (QN_Д):

QN_Д = (τ² / 2) * k

Приравняв два выражения для (QN_Д), найденных через угловую скорость и через ускорение Кориолиса получим:

(τ² / 2) * u * ω * sin θ = (τ² / 2) * k

Отсюда ускорение Кориолиса равно:

k = u * ω * sin θ

Подобный вывод формулы ускорения Кориолиса мы уже приводили выше (см. вывод формулы ускорения Кориолиса (4.8); Рис. 4.1.5; 4.1.6), где также обращали внимание, что для определения пути, пройденного с ускорением Кориолиса через угловую скорость переносного вращения, необходимо учитывать средний радиус поворота в рассматриваемом интервале времени.

Можно также воспользоваться уравнением (54) первоисточника с учетом найденного нами значения девиации (QN_Д). Подставляя девиацию поворотного движения (QNд = τ² / 2 * u * ω * sin θ) в равенство (54) и разделив все члены равенства на (τ² / 2) получим линейное ускорение, эквивалентное ускорению Кориолиса:

k = u * ω * sin θ

Таким образом, с учетом изменения радиуса поворотной части абсолютного ускорения, значение поворотного ускорения получилось ровно вдвое меньше, чем в выводе формулы ускорения Кориолиса, приведенном Жуковским.

При этом многоугольник PQNF (Фиг. 46 по Жуковскому) примет вид PQ₁N₁F (см. Рис.5.1.1).

Рис. 5.1.1

Стороны многоугольника PQNF соотносятся со сторонами многоугольника PQ₁N₁F следующим образом:

PQ₁ = PQ

N₁F = NF

Q1N1 = QN_Д = QN / 2

В связи с изменением длины (QN) в нашей интерпретации, изменились и направления девиации относительного и переносного движений. Однако в первоисточнике (см. Рис. 46) направление и величина геометрических отрезков девиации не являются строго обоснованными, они показаны схематично, тем более что Жуковский допускает несовпадение по направлению отрезков (НС) и (NF), которые при минимизации времени (τ) должны сливаться.

Возможно, если наша версия ускорения Кориолиса верна, то направление и величина отрезков девиации относительного, переносного и поворотного движений в многоугольнике PQ₁N₁F больше соответствуют действительности, чем направление и величина этих же отрезков в многоугольнике PQNF. Хотя в конечном итоге это не имеет принципиального значения, т.к. ориентация девиации в пространстве является условно академической.

Таким образом, если в выводе Жуковского учесть реальное изменение радиуса поворота в процессе поворотного движения, то мы получим значение абсолютного ускорения сложного движения и поворотного ускорения Кориолиса отличные от их классических значений для первого варианта проявления ускорения Кориолиса. Аналогичные замечания можно предъявить и к геометрическому выводу ускорения Кориолиса С. М. Тарга.