Понятие дифференциала функции.

Пусть функция  дифференцируема в точке , т.е. её приращение в этой точке может быть записано в виде (5). Первое слагаемое в правой части представления (5) имеет вид , где  - постоянная, не зависящая от . Если , то  является главной частью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Дифференциал функции обозначается символом . Итак, для дифференцируемой в точке  функции  

                                                               

Если , то дифференциал считают равным нулю.

Учитывая, что для дифференцируемой в точке  функции , , то равенство (8) можно записать в виде .

Заметим, что дифференциал  в данной точке , вообще говоря, не равен приращению  в этой точке

Точка  на графике функции имеет координаты , а точка  – . Тогда приращение  равно величине отрезка . В то же время из прямоугольного треугольника  имеем . Очевидно, величина отрезка , вообще говоря, отличается от величины .

Установим выражение для дифференциала функции , аргумент  которой является независимой переменной.

Под дифференциалом независимой переменной будем понимать приращение этой переменной, т.е. , тогда равенство (9) примет вид: .

В дальнейшем будет показано, что равенство (10) верно и в случае, когда аргумент  не является независимой переменной, а сам представляет собой дифференцируемую функцию новой переменной.

Дифференцирование сложной функции и обратной функции.

Дифференцируемость сложной функции.

Теорема 2.1. Пусть функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция  дифференцируема в указанной точке , при этом

Доказательство. Придадим аргументу  функции  в данной точке  произвольное отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение  функции

.

Приращению  в свою очередь отвечает приращение  функции  в соответствующей точке . Т.к. функция  дифференцируема в указанной точке , то её приращение  в этой точке может быть представлено в виде 

где . Поделив равенство (2) на , получим

Из дифференцируемости функции  в точке  следует, что отношение  имеет предел при , равный . Докажем теперь, что . Из дифференцируемости функции  в точке  следует её непрерывность в этой точке, тогда . Т.е.  при  из чего следует справедливость равенства (4). Таким образом, из равенства (3) находим

или . Теорема 2.1 доказана.

Замечание 1. Теорема 2.1 последовательно переносится на сложную функцию, являющуюся суперпозицией трёх и большего числа функций. Например, для сложной функции являющейся суперпозицией трёх функций  имеем