Рациональные числа и их основные свойства.

В дальнейшем вещественные числа будем называть также действительными числами.

К действительным числам относятся все натуральные числа, множество всех натуральных чисел обозначим через ℕ. Итак .

, т.е. .

  - множество целых неотрицательных чисел.

Обозначим через  множество всех целых чисел.

Обозначим через  множество всех рациональных чисел.

Вспомним из курса элементарной математики, что рациональным называется число, представимое в виде отношения двух целых чисел, причём одно и то же рациональное число представимо в виде отношения различных целых чисел. (Например ). Приведём основные свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствующих свойств целых чисел.

Фундаментальную роль играют три правила:

Правило сравнения и правила образования суммы и произведения.

1. Любые два рациональных числа  и  связаны одним и только одним из трёх знаков,  или , причём если  то .

Правило сравнения двух рациональных чисел формулируется следующим образом: два неотрицательных рациональных числа  и  связаны знаком , т.е. , если

, знаком , если  и знаком , если ; два неположительных рациональных числа  и  связаны тем же знаком, что и два неотрицательных рациональных числа  и ; если  – неотрицательное, а  – отрицательное рациональное число, то .

Правило образования суммы двух рациональных чисел  и определяется по формуле

Правило образования произведения двух рациональных чисел  и  определяется по формуле .

Правило сравнения рациональных чисел обладает теми же свойствами, что и правило сравнения целых чисел, а именно:

1. Если  и , то  (свойство транзитивности знака ); если  и , то  (свойство транзитивности знака ).

Правило сложения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:

2.  (свойство коммутативности или переместительное свойство)

3.  (свойство ассоциативности или сочетательное свойство).

4. Существует рациональное число 0 такое, что  для любого рационально числа .

5. Для каждого рациональное числа  существует противоположное ему рациональное число , такое что .

Правило умножения рациональных чисел обладает следующими четырьмя свойствами:

6.  (свойство ассоциативности или сочетательное свойство).

7.  (свойство ассоциативности или сочетательное свойство)

8. Существует рациональное число 1 такое, что  для любого рационального числа .

9.Для каждого рационального числа , отличного от нуля, существует обратное ему рациональное число , такое, что .

Правила сложения и умножения связаны следующими свойствами

10.  свойство дистрибутивности или распределительное свойство.

Следующие два свойства связывают знак  с операциями сложения и умножения:

11. Если , то для любого рационального .

12. Если  и , то .

13. Для любого рационального числа , можно число 1 повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма будет больше .

Перечисленные 13 свойств называют основными свойствами рациональных чисел, т.к. все другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств, являются следствиями этих основных свойств.

В частности, из этих свойств вытекает свойство, позволяющее почленно складывать неравенства одного знака, т.е. если  и  то .

Действительно, из неравенства  и свойства 11, следует, что , из неравенства  и свойства 11 следует, что . Тогда из свойства 1 (свойства транзитивности знака ) следует, что .