Вещественные числа и правило их сравнения.

Для расширения множества рациональных чисел рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных дробей. Числа, представимые этими дробями, будем называть вещественными или действительными.

Вещественное число будем называть положительным, (соответственно отрицательным), если оно представимо в виде положительной бесконечной десятичной дроби. В состав множества вещественных чисел входят все рациональные числа, т.к. любое рациональное число представимо в виде бесконечной десятичной дроби.

Действительно. Рассмотрим произвольное неотрицательное рациональное число вида . Поделив  на  «столбиком», мы получим представление рационального числа  в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной десятичной дроби. Например представимо в виде бесконечной десятичной дроби. Число  представимо в виде конечной десятичной дроби 0,5. Дописывая нули в последующих десятичных знаках, мы получим бесконечную дробь 0,500…. Заметим, что это же число представимо в виде другой бесконечно дроби 0,4999….

Такая же ситуация имеет место для любого рационального числа, представимого конечной десятичной дробью . Дописыванием нулей в последующих десятичных знаках из конечной десятичной дроби получится бесконечная десятичная дробь  .

Это же рациональное число  представимо и в виде другой бесконечной десятичной дроби , которая не может быть получена посредством деления «столбиком». Договоримся в дальнейшем не пользоваться вторым (заканчивающимся бесконечным числом девяток) представлением рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей.

Вещественные числа, не являющие рациональными, будем называть иррациональными.

Перейдём к формулировке правила сравнения двух произвольных вещественных чисел.

Рассмотрим два произвольных вещественных числа  и . Предположим, что эти числа представимы следующими бесконечными десятичными дробями:

причём в равенства (1) и (2) из двух знаков  берётся какой-то один.

Два вещественных числа (1) и (2) называются равными, если они имеют одинаковые знаки и если справедлива бесконечная цепочка равенств:

Рассмотрим теперь два неравных вещественных числа  и . Установим правило, позволяющее заключить, каким из двух знаков  или  связаны эти два числа. Пусть сначала оба числа  и  неотрицательны, т.е.

Т.к. числа  и  не равны, то нарушается хотя бы одно из равенств цепочки (3). Обозначим через  наименьший из номеров , для которых нарушается равенство. Т.е.

, но . Тогда будем считать, что , если , и , если . Итак, мы привели правило сравнения двух произвольных неотрицательных чисел.

Если одно из чисел  и  неотрицательно, а другое отрицательно, то будем считать, что неотрицательное число больше отрицательного.

Если оба числа  и  отрицательны, то мы будем считать, что , если  и , если .

Заметим, что в применении к двум рациональным числам сформулированное выше правило сравнения вещественных чисел приводит к тому же результату, что и правило сравнения рациональных чисел, сформулированное в пункте 1 настоящего параграфа.

Отметим теперь, что установленное правило сравнения вещественных чисел обладает свойством транзитивности знаков  и .

Свойство транзитивности знака  заключается в том, что для любых трёх вещественных чисел  и  из равенства , следует, что . Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из определения равенства вещественных чисел и справедливости своства транзитивности знака  для целых чисел.

Доказательство справедливости свойства транзитивности для знака  можно посмотреть в книге В. А. Ильин, А. В. Куркина «Высшая математика» гл. 1 §1 стр. 10 – 11