Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.

Пусть  подмножество множества действительных чисел ℝ.

Множество вещественных чисел  называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое вещественное число , что для любого  справедливо неравенство .

При этом число  называется верхней гранью (нижней гранью) множества .

Заметим, что любое ограниченное сверху множество  имеет бесконечно много верхних граней. Действительно, если  одна из верхних граней этого множества, то любое число , большее  является его верхней гранью. Аналогично любое ограниченное снизу множество  имеет бесконечное множество нижних граней. Так, например, множество всех отрицательных вещественных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани  этого множества можно взять любое неотрицательное вещественное число.

Наименьшая из всех верхних граней ограниченного сверху множества , называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом .

Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу множества  называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом .

Приведем другие, эквивалентные определения точной верхней и точной нижней граней множества.

Число  называется точной верхней гранью (точной нижней гранью) ограниченного сверху (снизу) множества , если выполнены следующие два требования: 1) . 2) .

В этом определении требование 1) означает что число  является одной из верхних (нижних) граней множества . Требование 2) означает, что если уменьшить (увеличить) число  на произвольное положительное число 𝜀, то число  перестает быть верхней (нижней) гранью множества .

Естественно возникает вопрос, существует ли точная верхняя (точная нижняя) грань у любого ограниченного сверху (снизу) множества. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

** Теорема 2.1. Если непустое множество вещественных чисел  ограничено сверху (снизу), то существует единственное число , которое является точной верхней гранью (точной нижней гранью) этого множества.

Теорема 2.1 приводится без доказательства.

Заметим, что у рассмотренного выше множества  всех отрицательных вещественных чисел  существует точная верхняя грань , причём это число не принадлежит множеству .

В общем случае числа  и  могут, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Например, для множества натуральных чисел точной нижней гранью будет число 1, которое принадлежит множеству натуральных чисел.

Множество вещественных чисел  называется ограниченным, если оно ограничено и сверху и снизу, т.е. существуют вещественные числа  и , такие, что для любого  справедливы неравенства .

Из теоремы 2.1 следует, что у каждого непустого ограниченного множества существуют точная нижняя и точная верхняя грани.