Монотонные последовательности.

Последовательность  называется возрастающей, если  для всех ; неубывающей, если  для всех ; убывающей, если  для всех ; невозрастающей, если для всех .

Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Теорема 3.10. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть  для всех . Т.к. последовательность ограничена, то существует такое число , что для всех номеров  справедливо неравенство . Пусть  - множество, состоящее из элементов последовательности , т.е.

. Тогда  - непустое, ограниченное сверху множество. Поэтому по теореме 2.1 для множества  существует точная верхняя грань , т.е. . Докажем, что  является пределом последовательности .

Т.к.  - точная верхняя грань множества , то для любого  существует такой элемент , что . С другой стороны, по определению точной верхней грани  для всех . Из неравенств (22), (23) и из условия неубывания последовательности  найдём

  для всех .

Из последних неравенств имеем

 для всех  или

 для всех .

Т.е.  является пределом последовательности .

Отметим, что аналогично рассматривается случай невозрастающей ограниченной последовательности с той лишь разницей, что вместо  надо рассмотреть . Теорема доказана.

4. Число . Рассмотрим последовательность  с общим членом . Докажем, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху. Тогда из теоремы 3.10 будет следовать существование предела этой последовательности.

 Воспользуемся формулой бинома Ньютона.

,

где  – число сочетаний из  элементов по  элементов и , где  .

Тогда

Подставляя в это равенство в место индекса , найдем

Так как для любого натурального , то каждое слагаемое в выражении для , начиная со второго слагаемого, больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для , кроме этого  содержит на одно положительное слагаемое больше, чем , т.е. . Тем самым, монотонное возрастание последовательности  доказано. Докажем ограниченность последовательности .

 Для доказательства ограниченности сверху этой последовательности заметим, что для любого справедливо неравенство  . Поэтому

Т.е.  для всех . Т.е. последовательность  ограничена сверху.

Итак, последовательность  является монотонно возрастающей ограниченной сверху последовательностью. По теореме 3.10 она сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через

Итак,    (24)

 

Отметим, что число  является иррациональным (без доказательства) числом, имеющим с точностью до пятнадцати знаков после запятой вид

Функция и её предел.

1. Понятие функции. Пусть  и  - непустые числовые множества. Если каждому элементу  по некоторому закону  ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве  задана функция , при этом переменная  называется аргументом или независимой переменной, множество  называется областью определения функции. Совокупность всех значений  называется областью изменения функции.

Примеры функций.

1. . Эта функция определена на всей числовой прямой . Областью изменения является полупрямая .

2.

Областью определения является множество . Область изменения состоит из двух точек: 0 и 1.

3.

2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть  – бесконечное числовое множество.

Точка  бесконечной прямой  называется предельной точкой множества , если в любой  окрестности точки  (т.е. в любом интервале ) имеются точки множества , отличные от точки .

Замечание. Точка  может, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему.

Например, для интервала  очевидно,  является предельной точкой. Однако . Для сегмента точка  является предельной точкой. В последнем случае .

Пусть функция  определена на множестве  и точка  предельная точкой этого множества.

  Предел функции по Гейне. Число  называется пределом функции  в точке , если для любой последовательности значений аргументов  , сходящейся к , элементы которой отличны от соответствующая последовательность  сходится к числу .

  Предел функции по Коши. Число  называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа  найдётся положительное число , такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию  справедливо неравенство  

Замечание. Отметим, что в определении предела функции по Гейне говорится, что элементы  отличны от , а в определении предела по Коши, что . Эти требования вызваны тем, что функция  может быть не определена в точке .

Докажем теперь эквивалентность приведенных определений.

Пусть  является пределом функции  по Коши. Возьмём произвольную последовательность элементов , отличных от  и сходящихся к . Тогда для произвольного найдется такое положительное число что при всех значениях аргумента  для которых выполнено неравенство  будет выполнено . Так как последовательность  сходится к , то для числа  существует такой номер , что для всех номеров  справедливо неравенство . Но для таких аргументов  справедливо неравенство

.

Итак, для любого  существует такой номер , что для всех номеров , выполняется

Следовательно, число  является пределом последовательности .

Таким образом, если  является пределом функции  в точке  по Коши, то  является пределом функции  и по Гейне.

Докажем теперь обратное. Пусть  - предел функции по Гейне. Предположим, что  не является пределом функции  по Коши. Тогда должно существовать такое положительное число , что для произвольного положительного числа , найдется, хотя бы одно значение аргумента , для которого , но .

Возьмём последовательность , где . Для каждого  должен существовать такой элемент , для которого выполнены неравенства:  (2) и . (3).

Из неравенства (2) следует, что последовательность  сходится к  и состоит из чисел, отличных от . Тогда по условию последовательность  сходится к числу . В тоже время, из неравенства (3) следует, что последовательность  не сходится к . Т.е. получаем противоречие, что вызвано предположением о том, что число  не является пределом функции по Коши. Итак, эквивалентность приведенных определений доказана.

3. Односторонние пределы.

  Определение одностороннего предела по Гейне. Число  называется правым (левым) пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к  последовательности , элементы  которой больше (меньше) , соответствующая последовательность  сходится к числу .

Обозначение .

Определение одностороннего предела по Коши. Число  называется правым (левым) пределом функции  в точке , если для любого  существует  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам  выполняется неравенство .

Повторяя рассуждения, приведенные в п.2, без особого труда, можно доказать эквивалентность приведенных определений.

Рассмотрим в качестве примера функцию . Для этой функции имеем

р

так как, для любой сходящейся к  последовательности , элементы которой больше  имеем , а для любой сходящейся к  последовательности , элементы которой меньше поэтому , .

Теорема 4.1. Функция  имеет в точке  предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Доказательство. Пусть . Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, для любого  существуют числа  и , такие, что для всех , удовлетворяющих неравенствам  и для всех , удовлетворяющих неравенствам  справедливо неравенство .

Пусть , тогда для всех , удовлетворяющих неравенствам  будет выполнено хотя бы одно из двух неравенств (4) и (5), но при таких значениях  верно неравенство (6). Итак, для любого положительного  существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполнено неравенство . Т.е.  является пределом функции  в точке .

Обратно. Пусть . Тогда для любого , существует такое, что как только , справедливо неравенство . Следовательно, неравенство  верно для всех , удовлетворяющих неравенствам  и для всех , удовлетворяющих неравенствам . Но в таком случае, из определения левого и правого пределов следует, что  и . Теорема 4.1 доказана.

4. Предел функции при  и при .

  Предел функции при  по Гейне. Число  называется пределом функции  при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу .

  Предел функции при  по Коши. Число  называется пределом функции  при , если для любого положительного числа  найдётся отвечающее ему положительное число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

Предел функции  при  (при ) по Гейне. Число  называется пределом функции  при  ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность  сходится к числу .

  Предел функции  по Коши. Число  называется пределом функции  при  ( ), если для любого существует число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство

.

Для обозначения введённых выше пределов используется следующая символика:

.