Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывность простейших элементарных функций.
Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции: (где - постоянное вещественное число), (где ), . Представление об этих функциях и об их графиках читатель имеет из курса элементарной математики. Наша основная задача – выяснение вопроса об непрерывности всех простейших элементарных функций во всех точках областей их определения. Строгое математическое выяснение этих вопросов не является простым и выходит за рамки настоящего курса. Поэтому мы вынуждены будем приводить некоторые утверждения без доказательства. 1. Показательная функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой . При этом функция возрастает при и убывает при . Областью изменения функции является множество . Графики функции при и при изображены на рис.1 и 2. 2. Логарифмическая функция. Так как на произвольном сегменте бесконечной прямой функция непрерывна и возрастает при (убывает при ), то в силу теоремы 5.8, для этой функции существует на сегменте при ( при ) обратная функция , которая непрерывна и возрастает на сегменте при (непрерывна и убывает на сегменте при ). Эта функция называется логарифмической и обозначается символом . Поскольку левый конец мы можем неограниченно приближать к , а правый конец неограниченно приближать к , то в силу равенств , справедливых при , функция будет определена и непрерывна на всей открытой полупрямой и будет на этой полупрямой возрастать при (убывать при ). Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы получим логарифмическую функцию , которая определена и непрерывна на открытой полупрямой и на этой полупрямой возрастает при (убывает при ) Графики логарифмической функции для и изображены на рис. 3 и 4.
3. Обратные тригонометрические функции. Так как функция непрерывна и возрастает на сегменте и имеет множеством своих значений сегмент , то в силу теоремы 4.7 на сегменте определена обратная функция , которая непрерывна и возрастает на этом сегменте. Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы придём к функции , непрерывной и возрастающей на сегменте . Аналогично устанавливается, что функция , обратная к непрерывной и убывающей на сегменте функции , является непрерывной и убывающей на сегменте .
Функция , обратная к непрерывной и возрастающей на интервале функции , является непрерывной и возрастающей на бесконечной прямой ; функция , обратная и непрерывная к непрерывной и убывающей на интервале функции , является непрерывной и убывающей на бесконечной прямой . Графики обратных тригонометрических функций изображены на рис. 5 – 8.
4. Степенная функция. Пусть - произвольное фиксированное вещественное число, - некоторое вещественное число, большее единицы. Пользуясь основным логарифмическим тожеством , представим степенную функцию в виде: т.е. как сложную функцию вида , где . Так как , то функция возрастает на полупрямой и потому функция возрастает при и убывает при на этой полупрямой. Отсюда и из того, что функция возрастает на всей прямой вытекает, что степенная функция возрастает при и убывает при на полупрямой . Далее, из того, что функция непрерывна в каждой точке полупрямой , а функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой и из теоремы 5.7 о непрерывности сложной функции вытекает, что степенная функция непрерывна в каждой точке полупрямой . На рис. 9 изображены графики функции для различных значений .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 69; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.141.244.201 (0.007 с.) |