Дифференциалы высших порядков.

В данном разделе мы будем использовать для обозначения дифференциала наряду с символом  также символ .

Как уже известно, для первого дифференциала дифференцируемой в данной точке  функции  справедливо равенство

Предположим, что правая часть равенства (3) является функцией аргумента , дифференцируемой в данной точке .

Для этого достаточно потребовать, чтобы функция  была два раза дифференцируемой в данной точке , а аргумент  являлся либо независимой переменной, либо дважды дифференцируемой функцией некоторой переменной . При этих предположениях мы можем рассмотреть дифференциал

от обеих частей равенства (3).

Определение 5.1. Значение  дифференциала от первого дифференциала (3) взятое при , называется вторым дифференциалом функции  (в данной точке ) и обозначается символом .

Итак по определению .

Предположим, что уже введён дифференциал  порядка  и что функция  является  раз дифференцируемой в данной точке , а её аргумент  является либо независимой переменной, либо  раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной .

Определение 5.2. Значение  дифференциала -го порядка , взятое при , называется дифференциалом -го порядка функции  в данной точке  и обозначается символом .

Итак, по определению .

При вычислении второго и последующих дифференциалов следует существенно различать два случая: 1) когда аргумент  является независимой переменной, 2) когда аргумент  является соответствующее число раз дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной .

В случае, когда  является независимой переменной, мы имеем право считать, что  не зависит от  и для всех  равен одному и тому же приращению аргумента . При этом мы имеем

. Тогда

Итак, в случае, когда аргумент  является независимой переменной, для второго дифференциала функции  справедливо представление

По аналогии устанавливается, что в случае, когда аргумент  является независимой переменной, для -го дифференциала  раз дифференцируемой функции  справедливо представление

Таким образом, для случая, когда аргумент  является независимой переменной, производная порядка  функции  равна отношению -го дифференциала этой функции  к -й степени дифференциала аргумента, т.е.

Иной вид имеют представления второго и последующих дифференциалов в случае, когда аргумент  является соответствующее число раз дифференцируемой функцией независимой переменной .

Пусть функция  два раза дифференцируема в данной точке , а её аргумент  является два раза дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной . Тогда из свойства инвариантности формы первого дифференциала имеем

Из последнего равенства находим

Т.е

Сравнивая равенства (5) и (6) мы видим, что в отличии от первого дифференциала, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Тем более не обладают свойством инвариантности формы последующие дифференциалы.