Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Точки перегиба графика функции.
Пусть функция дифференцируема на интервале , а – произвольная точка интервала . Предположим, что функция имеет определённое направление выпуклости на каждом из интервалов и . Определение 5.2. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости. На рисунке изображён график функции, имеющей перегиб в точке . Теорема 5.3. (Необходимое условие перегиба графика функции). Если график функции имеет перегиб в точке и если функция имеет непрерывную вторую производную в точке , то . Доказательство. Предположим обратное, т.е. . Тогда или . Рассмотрим случай , тогда по теореме 5.2 существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет выпуклость, направленную вниз, что противоречит наличию перегиба графика функции в точке . Полученное противоречие доказывает теорему. Случай рассматривается аналогично. Теорема 5.4. (Первое достаточное условие перегиба) Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке . Доказательство. Т.к. вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки , то, согласно теореме 5.1 график функции имеет слева и справа от точки разные направления выпуклости, что означает наличие перегиба у графика функции в точке . Теорема доказана. Теорема 5.5. (Второе достаточное условие перегиба). Если функция имеет в точке конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , то график этой функции имеет перегиб в точке . Доказательство. Итак , . Для определённости будем считать, что . Тогда по определению производной третьего порядка Т.к. , то По предположению , поэтому такое, что для всех , для которых выполнены неравенства , справедливо неравенство . Пусть , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная отрицательна слева от точки . Пусть теперь , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная положительна справа от точки . Итак, вторая производная имеет разные знаки слева и справа от точки . При этом
. Тогда по теореме 5.4 график функции имеет перегиб в точке . Аналогично рассматривается случай . Теорема 5.5 доказана. Асимптоты графика функции. Определение 6.1. Будем говорить, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или . Пример. График функции имеет вертикальную асимптоту , т.к. , . Определение 6.2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если функция представима в виде где . Теорема 6.1. Для того, чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства: Доказательство. Необходимость. Пусть прямая является наклонной асимптотой графика функции при . Тогда функция представима в виде , где . Поделим обе части равенства (1) на и перейдём к пределу в полученном равенстве при , получим Рассмотрим теперь предел Достаточность. Пусть выполнены равенства (2). Тогда из существования предела следует, что разность является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию , получим для функции представление (1). Теорема доказана. В заключение данного параграфа приведём схему исследования графика функции. Целесообразно провести следующие исследования. 1. Установить область определения функции. 2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных) 3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума. 4. Найти области сохранения выпуклости и точки перегиба. 5. Найти точки пересечения графика функции с осями и . После проведения указанных исследований легко строится эскиз графика функции. Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса существуют точки и сегмента такие, что . Иными словами функция достигает в точке своего глобального максимума, а в точке - глобального минимума. Естественно возникает вопрос: как найти точки глобального максимума и глобального минимума и . Приведём описание процесса нахождения глобального максимума и соответствующей точки .
Пусть - какая-то точка глобального максимума. Указанная точка либо находится внутри сегмента ? Либо совпадает с одной из точек и . Если находится внутри сегмента , то она совпадает с одной из точек локального максимума функции / Предположим, что внутри сегмента существует конечное множество точек локального максимума функции , пусть эти точки . Тогда число будет совпадать с числом . В качестве точки можно взять тут точку из множества , в которой соответствующее значение функции будет наибольшим. Аналогично находится число и соответствующая точка .
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 61; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.116.20 (0.01 с.) |