Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Существование первообразной у любой непрерывной функции.
В данном параграфе мы будем рассматривать интеграл вида , где подынтегральная функция определена и интегрируема на некотором сегменте , а - произвольная точка сегмента , т.е. . В указанных предположениях мы можем рассмотреть функцию определённую в каждой точке сегмента . Справедлива следующая теорема 3.1. Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда функция , определённая равенством (1) дифференцируема в каждой точке сегмента , при этом Доказательство. По определению производной функции Согласно формуле среднего значения где Учитывая равенство (4) в равенстве (3), получим Пользуясь непрерывностью функции в точке и тем, что , из равенства (6) получим . Теорема 1.1 доказана. Замечание. В теореме 1.1 мы доказали, что является одной из первообразных непрерывной на сегменте функции . Тогда любая первообразная функции будет иметь вид . Основная формула интегрального исчисления. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция непрерывна на сегменте , тогда для любой точки , функция является одной из первообразных функции . В частности, взяв в качестве точки точку , получим, что и функция является первообразной функции . Теорема 4.1. Пусть функция непрерывна на сегменте и - любая первообразная функции на этом сегменте, тогда Доказательство. Т.к. является одной из первообразных функции на сегменте , a – любая первообразная функции на этом же сегменте, то по теореме 1.1 §1 главы 8, функция имеет вид , где - некоторая постоянная. Пользуясь равенством (2), вычислим . Тем самым справедливость формулы (1) доказана. Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Пользуясь обозначением формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде Замена переменной в определённом интеграле. Теорема 4.2. Пусть функция непрерывна на сегменте , а функция дифференцируема на сегменте , причём производная непрерывна в каждой точке сегмента . Пусть множеством значений функции является сегмент и при этом , тогда справедлива следующая формула Доказательство. Пусть – какая-нибудь первообразная функции на сегменте , тогда по формуле Ньютона-Лейбница Рассмотрим функцию , определённую на сегменте . Согласно правилу дифференцирования сложной функции, её производная равна
Следовательно функция является первообразной для непрерывной на сегменте функции , поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница Согласно формуле (5), правая часть последнего равенства равна . Следовательно справедливость формулы (4) и теоремы 4.2 доказана.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 82; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.238.20 (0.007 с.) |