Второе достаточное условие экстремума.

В некоторых случаях исследование знака первой производной слева и справа от точки возможного экстремума затруднено. В таких случаях целесообразно использовать второе достаточное условие экстремума. При этом приходится усиливать условие, накладываемое на функцию . Справедлива следующая теорема:

Теорема 4.2. (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть функция  имеет в некоторой точке  конечную вторую производную . При этом . Тогда функция  имеет в точке  локальный максимум, если  и локальный минимум, если . (Рассмотрим случай )

Доказательство. По определению, вторая производная функции  в точке  равна

Т.к. , из равенства (5) получим

По условию . Из определения предела функции и равенства (5) имеем, что для положительного числа  такое, что для всех  справедливы неравенства

или

Т.к. , то из последних неравенств следует, что справедливо неравенство  для всех , удовлетворяющих неравенствам . Рассмотрим два случая

1) 2) .

1) Если , то  и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции  положительна слева от точки .

2) Если , то  и из неравенства (6) имеем , т.е. производная функции отрицательна справа от точки . Тогда из первого достаточного условия экстремума следует, что в точке  функция  имеет локальный максимум.

Пусть теперь . Рассмотрим функцию , тогда ,

, следовательно функция имеет в точке  локальный максимум, но тогда функция  будет иметь в точке  локальный минимум. Теорема 4.2. доказана.

Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке.

При доказательстве теоремы 4.1 мы пользовались теоремой Лагранжа на сегменте , в случае, когда рассматривался интервал  и  и в случае интервала . Но в теореме Лагранжа вовсе не требуется, чтобы функция  была дифференцируемой в точке , а требуется всего лишь непрерывность функции  на указанном сегменте. Учитывая сказанное выше, заключаем, что справедлива следующая

Теорема 4.3. Пусть функция  непрерывна в некоторой окрестности точки  и дифференцируема всюду в указанной окрестности за исключением точки . Тогда, если в указанной окрестности производная  положительна (соответственно отрицательна) слева от точки  и отрицательна (соответственно положительна) справа от точки , то функция  имеет в точке  локальный максимум (соответственно локальный минимум). Если же производная  имеет один и тот же знак слева и справа от точки , то экстремума в точке нет.

Пример. . Эта функция непрерывна на всей бесконечной прямой и дифференцируема в каждой точке, за исключением одной точки , причём  при  и  при . Теорема 4.1 к этой функции неприменима, а согласно теореме 4.3 она имеет минимум в точке .