Глава 8. Неопределённый интеграл.

Понятие первообразной функции и неопределённого интеграла.

Понятие первообразной функции.

Определение 1.1. Функция  называется первообразной функцией функции  на интервале , если всюду на интервале существует производная  и эта производная

.

Замечание. В определении 1.1 интервал  может быть заменён на всю бесконечную прямую , либо на одну из бесконечных полупрямых .

Примеры: функция  является первообразной функции  на интервале , так как всюду на этом интервале ; функция является первообразной функции на бесконечной прямой , так как в любой точке этой прямой ; функция  является первообразной функции  на бесконечной полупрямой , так как  в каждой точке полупрямой .

Если функция  является первообразной функции  на интервале , то функция , где  – произвольная постоянная, также является первообразной функции  на интервале, так как .

Следующая теорема устанавливает связь между различными первообразными одной и той же функции.

Теорема 1.1. Если  и  – любые две первообразные функции  на интервале ? То всюду на этом интервале , где  – некоторая постоянная.

Доказательство. Обозначим через  разность функций  и . Тогда в каждой точке интервала  существует . Из теоремы 1.4 §1 главы 7 следует, что . Теорема 1.1 доказана.

Следствие из теоремы 1.1. Если  является одной из первообразных функции  на интервале , то любая первообразная  функции  на этом интервале имеет вид , где  - некоторая постоянная.

Неопределённый интеграл.

Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функции  на интервале  называется неопределённым интегралом и обозначается символом

Знак называется знаком интеграла, выражение  - подынтегральным выражением, а сама функция  - подынтегральной функцией,  – переменной интегрирования.

Если  является одной из первообразных функции  на интервале , то

где  - произвольная постоянная.

Равенство (1) непосредственно следует из следствия теоремы (1).

Основные свойства неопределённого интеграла.

1. . Действительно, если  одна из первообразных функции , то

2. . Действительно, . Тогда . Т.к.  является одной из первообразных функции . Равенство (3) доказано.

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е.

где .

Действительно, если  первообразная функции , то  – первообразная функции , т.к. . Из чего следует, что

, где .

4. Неопределённый интеграл от суммы или разности двух функций равен соответственно сумме или разности неопределённых интегралов этих функций, т.е.

Действительно, пусть  и  первообразные функций  и  соответственно:

Так как , то функция  является первообразной функции .

Таблица основных интегралов.

Приведённые ниже интегралы принято называть табличными интегралами.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Справедливость всех приведённых формул, за исключением формул 4, 12, 13, непосредственно следует из определения неопределённого интеграла и таблицы производных элементарных функций. Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13. Формула 4 справедлива для любого интервала, не содержащего точки . Действительно, если  то из равенства  заключаем, что , а если , то из равенства , заключаем, что . Следовательно, формула 4 справедлива для любого .

Докажем равенство 12. Рассмотрим два случая

1) . Тогда

1. . Поэтому

 

Следовательно

Рассмотрим теперь функцию . Данная функция определена на множестве . Если  то , поэтому для любой точки полупрямой

Следовательно справедливо

на полупрямой .

Если , то , поэтому

Т.е.

на интервале .

Справедливость равенства (12) доказана.

Справедливость равенства (13) проверить самостоятельно.