Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на сегменте  задана неотрицательная и непрерывна функция .

Фигуру, ограниченную линиями , отрезком  оси  и графиком функции  назовём криволинейной трапецией. Площадь указанной криволинейной трапеции обозначим через .

Доказательство. Возьмём произвольное разбиение сегмента

. Выберем на каждом частичном сегменте  произвольную точку . Для данного разбиения и данного выбора точек  составим интегральную сумму функцию

Интегральная сумма (3) равна площади ступенчатой фигуры, указанной на рис. 1. Так как, площадь  криволинейной трапеции приблизительно равна площади ступенчатой фигуры, то

Естественно полагать, что площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции при стремлении к нулю наибольшей длины  частичных сегментов разбиения (2). Таким образом

Равенство (1) доказано.

Замечание. В случае, когда график функции  задан параметрическими уравнениями , получим

 

 

Площадь криволинейного сектора.

Пусть кривая  задана в полярных координатах уравнением , где  - неотрицательная и непрерывная на сегменте  функция. Плоскую фигуру, ограниченную кривой  и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы  и , будем называть криволинейным сектором.

Докажем, что для площади  криволинейного сектора справедлива формула

Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение сегмента

  и выберем в каждом частичном сегменте  произвольную точку . Составим интегральную сумму функции , отвечающую данному разбиению и данному выбору точек .

Интегральная сумма (7) равна площади веерообразной фигуры, состоящей из круговых секторов радиуса .

Так как площадь криволинейного сектора  приблизительно равна площади веерообразной фигуры, то

Справедливость формулы (6) доказана.

Длина дуги плоской кривой.

Пусть в плоскости  дана некоторая кривая , в направлении от  к  возьмём точки

. Соединив последовательно взятые на кривой   точки, получим некоторую вписанную в кривую  ломаную. Обозначим через  длину звена  указанной ломаной, а через  - длину наибольшего из её звеньев .

Определение 6.1. Кривая  называется спрямляемой, если существует предел , к которому стремится длина вписанной в эту кривую ломаной при стремлении к нулю её наибольшего звена. При этом указанный предел  называется длиной кривой .

Предположим, что кривая  представляет собой график заданной на сегменте  функции .

Справедливо следующее утверждение: если функция  имеет производную , непрерывную на сегменте , то длина  кривой  выражается формулой:

Доказательство. Возьмём произвольное разбиение отрезка  точками

 и рассмотрим точки  кривой , имеющие координаты , тогда точки  определяют некоторую, в писанную в кривую , ломаную. Длина -го звена указанной ломаной равна

Пользуясь формулой Лагранжа

следовательно

Тогда длина вписанной ломаной равна

Правая часть равенства (10) представляет собой интегральную сумму непрерывной на сегменте  функции , отвечающей разбиению (9) и некоторому выбору точек .

Пользуясь тем, что при стремлении к нулю  – наибольшего звена данной ломаной, к нулю стремится и наибольшая длина частичных сегментов, из равенства (10) получим

Тем самым утверждение доказано.

Замечание. Рассмотрим случай, когда кривая  задана параметрическими уравнениями

, при этом , где функции  и  имеют непрерывные производные  и  на . В этом случае, сделав замену переменной  и, учитывая, что , из формулы (8) получим

Т.е.

Замечание 2. Пусть теперь кривая  задана уравнением в полярных координатах

, где функция  имеет непрерывную на  производную , при этом радиус-векторы  и  точек  и  соответственно равны . В этом случае, переходя к прямоугольным координатам , получим параметрические уравнения кривой .

Тогда . Пользуясь формулой (10), найдём

4. Объём тела вращения. Пусть на сегменте  задана непрерывная и неотрицательная функция . Тогда объём тела, образованного вращением вокруг оси  криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , графиком функции  и отрезком , равен

Доказательство. Рассмотрим произвольное разбиение сегмента  точками

В каждом частичном сегменте  возьмём точку .

На каждом частичном сегменте  построим прямоугольник высоты . При вращении вокруг оси  каждый прямоугольник опишет цилиндр. Объём каждого такого цилиндра равен , где .

Сумма объёмов всех  цилиндров приближённо равна объёму данного тела вращения

C другой стороны сумма в правой части равенства (13) представляет собой интегральную сумму функции  на сегменте . Так как функция  непрерывна, то предел этой суммы при стремлении к нулю  наибольшей длины частичных сегментов, существует и равен . Следовательно, объём тела вращения криволинейной трапеции вокруг оси  равен