Деление отрезка в данном отношении.

Рассмотрим в пространстве две различные точки  и прямую, проходящую через эти точки. Выберем на этой прямой некоторое направление. Тогда на полученной оси точки  определяют направленный отрезок  

Пусть  - любая отличная от  точка указанной оси. Число , где  и  - величины направленных отрезков  соответственно, называется отношением, в котором точка  делит направленный отрезок  .

Замечание 1. При изменении направления на прямой, проходящей через точки , меняют знаки величины всех направленных отрезков. Поэтому отношение  не зависит от выбора направления на прямой .

Введём в пространстве декартову прямоугольную систему координат , и пусть в этой системе координат точки  имеют соответственно координаты ,  и . Пусть точка  делит направленный отрезок   в отношении , при этом будем считать, что .

Выясним, как можно выразить координаты точки  с помощью координат . Пусть ,  и  - основания перпендикуляров, опущенных из точек  и на ось . Очевидно, что точка  делит направленный отрезок  в отношении 𝜆, поэтому

 

Согласно теореме 1.1 §1 главы 3 , . Тогда из равенств (3) и равенства (2) найдём . Аналогично, проектируя точки  на оси  и повторяя проведённые выше рассуждения получим следующие формулы нахождения координат точки :

Формулы (4) называются формулами деления отрезка в данном отношении 𝜆.

Замечание 2. Очевидно, если , то точка  делит отрезок  пополам. В этом случае из формул (4) мы получим

 

                                  .         (5)

Формулы (5) называются формулами деления отрезка пополам.

 

3. Формула площади треугольника на плоскости. Рассмотрим в плоскости прямоугольную систему координат . Пусть вершины треугольника  имеют координаты , , .

 

Пусть  и пусть  и  - углы наклона векторов и  к оси .

В зависимости от расположения точек  возможны следующие три случая:

1. ;     2. ; 3. .

Рассмотрим случай 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

                                               .

Учитывая, что

, получим

Аналогично устанавливается справедливость формулы (6) в случаях 2 и 3.

Замечание. Аналогичная формула верна и для случая n-угольника .

.

 

4. Полярная система координат.

Во многих задачах математики, наряду с прямоугольными координатами рассматриваются также полярные координаты. Полярные координаты вводятся следующим образом:

Рассмотрим на плоскости некоторую точку  и выходящий из нее луч . Кроме этого укажем единицу масштаба. Точку  будем называть полюсом.

Полярными координатами точки  называются два числа , первое из которых (полярный радиус)  равно расстоянию от полюса  до точки , а второе (полярный угол) 𝜑 – углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки луч  до совмещения с лучом . При этом предполагается, что точка  отлична от полюса. Для полюса  полярный радиус равен нулю, а полярный угол не определен.

Тот факт, что точка  имеет полярные координаты  обозначается символом .

Для того, чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и парами полярных координат ) было взаимно однозначным, считают, что

Пусть точка  имеет декартовы координаты  и полярные координаты ρ, 𝜑.

 Тогда прямоугольные координаты и полярные координаты ρ, 𝜑, очевидно  связаны соотношениями: , при этом .