Системы с квадратной невырожденной матрицей.

Рассмотрим системы линейных алгебраических уравнений, состоящей из  уравнений и  неизвестных .

Пусть  - основная матрица системы (1),  - столбец неизвестных и  – столбец свободных членов.

Запишем систему (1) в матричной форме

Теорема 2.1. Система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей совместна и имеет единственное решение.

Доказательство. Основная матрица системы (1) не вырождена, следовательно она обратима, т.е. для неё существует обратная матрица .

Умножая обе части равенства слева на матрицу , получим

Равенство (3) определяет решение матричного уравнения (2).

Матрица  является матрицей столбцом размера . Записывая равенство (3) в развёрнутом виде, т.е. приравнивая элементы в одинаковых позициях. Мы найдём значения . Тем самым совместность системы (1) доказана.

Докажем теперь, что найденное решение  является единственным решением системы (1).

Пусть  – любое решение системы (1). Тогда матрица столбец будет удовлетворять матричному равенству

Умножая обе части равенства (4) слева на матрицу , получим .

Сопоставляя равенства (3) и (5), приходим к выводу что доказывает единственность решения системы (1).

Правило Крамера. При доказательстве теоремы 2.1 была получена матричная форма записи решения системы (1). . Учитывая, что

получим

Следовательно

Введём следующие обозначения

Заметим, что определители  отличаются от определителя  только i-ым столбцом. На месте i-го столбца стоит столбец свободных членов .

Раскладывая определитель  по первому столбцу, определитель  по второму столбцу и т.д. Определитель  по последнему столбцу, получим

Учитывая равенства (7) в равенствах (6) мы получим

Формулы (8) называются формулами Крамера.

Пример. Пользуясь формулами Крамера, решить систему:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Вычислим определители

Следовательно

§3. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.

Понятие эквивалентной системы. Рассмотрим две системы линейных алгебраических уравнений с одинаковым количеством неизвестных .

Заметим, что числа  могут не совпадать. Т.е. количество уравнений системы (1) может не совпадать с количеством уравнений системы (2).

Системы (1) и (2) с одинаковым количеством неизвестных называются эквивалентными, если каждое решение системы (1) является решением системы (2) и наоборот – каждое решение системы (2) является решением системы (1).

Элементарные преобразования системы. Элементарными преобразованиями системы называются преобразования следующих трёх типов.

1. Перестановка местами любых двух уравнений системы;

2. Умножение любого уравнения системы на любое отличное от нуля число;

3. Прибавление к одному уравнению системы другого её уравнения, умноженного на любое число.

Заметим, что элементарные преобразования системы означают элементарные преобразования сток её расширенной матрицы.

Теорема 3.1. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений приводят её к эквивалентной системе.

Справедливость теоремы 3.1 непосредственно вытекает из определения эквивалентных систем.