Основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы не изменяется при её транспонировании:   . 

Доказательство свойства 1 для квадратных матриц 2 и 3 порядков проводится по единой схеме. Приведём доказательство для квадратной матрицы 2-го порядка.

Пусть

Свойство 2. Если одна из строк (столбцов) матрицы целиком состоит из нулей, то её определитель равен нулю.

Свойство 2 непосредственно вытекает из определения определителя.

Свойство 3. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

Доказательство свойства 3 приведём для квадратных матриц третьего порядка. Пусть

 

Пусть  - матрица, полученная из матрицы  перестановкой мест первых двух строк, т.е.

Аналогично проходит доказательство свойства 3, при перестановке любых других строк (столбцов).

Свойство 4. При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число.

Доказательство свойства 4 приведём для случая умножения элементов первой строки, квадратной матрицы третьего порядка, на произвольное число .

Пусть

Аналогично доказывается свойство 4 для всех остальных случаев.

Свойство 5. Если каждый элемент i-й строки (столбца) матрицы  представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен , где элементы матриц  и , за исключением элементов -й строки (столбца), совпадают с соответствующими элементами матрицы . А в -х строках (столбцах) матриц  и  стоят упомянутые первые и вторые слагаемые соответственно.

Доказательство свойства 5 приведём для случая, когда элементы первой строки квадратной матрицы второго порядка, представлены в виде двух слагаемых.

Пусть .

Аналогично доказывается свойство 5 и для квадратных матриц третьего порядка.

Отметим некоторые следствия, непосредственно вытекающие из перечисленных 5 основных свойств определителя.

Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.

Доказательство. Пусть  - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки (столбца).  - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк (столбцов) матрицы . Тогда, с одной стороны, , с другой стороны, в силу свойства 3, . Следовательно, . Из последнего равенства следует, что .

Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.

Доказательство. Пусть  - квадратная матрица третьего порядка, имеющая две пропорциональные строки.

Будем считать, без ограничения общности, что в матрице  пропорциональны две строки. Предположим, что элементы второй строки получены умножением соответствующих элементов первой строки на некоторое число .

Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число , то определитель не изменится.

Доказательство. Пусть  - квадратная матрица третьего порядка

В качестве иллюстрации доказательства, рассмотрим случай, когда к элементам первой строки матрицы  прибавляются элементы второй строки, умноженные на произвольное число . Тогда, в силу свойства 5 и следствия 2

=

Миноры и алгебраические дополнения. Пусть  - произвольная квадратная матрица,  – её элемент, стоящий в позиции . Вычеркивая из матрицы  i-ю строку и -ый столбец, получим некоторую матрицу , порядка . Определитель матрицы  называется минором элемента . Минор элемента  будем обозначать символом .

Число  называется алгебраическим дополнением элемента . Для обозначения алгебраического дополнения элемента  будем пользоваться символом .