Классификация линий второго порядка.

В зависимости от знака величины  общее уравнение линии второго порядка разделяются на следующие три типа:

1.  эллиптический тип

2.  гиперболический тип

3.  параболический тип.

Нами доказано, что любое уравнение линии второго порядка  при путём преобразования координат (параллельный перенос и поворот на определённый угол ) можно привести к виду

Очевидно, что при преобразовании координат меняется только вид уравнения линии второго порядка. Поэтому мы можем вместо общего уравнения линии второго порядка исследовать уравнение более простого вида, а именно уравнение (47).

1) Рассмотрим линии эллиптического типа, т.е. . Выше было доказано, что

, т.е. величина  является инвариантом относительно указанных преобразований координат. Так как , то , и следовательно, .

Рассмотрим два случая

а) , , . Тогда из уравнения (47) имеем

Т.к. и , то обозначая  и , получим

Очевидно, что последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением мнимого эллипса.

б) , , . Тогда из уравнения (47) имеем

Т.к.  и , обозначая , , получим

Т.е. в этом случае уравнение (47) определяет эллипс. (Рассмотреть случай , , )

Случаи , ,  и , ,  рассматриваются аналогично.

2) Гиперболический тип. . Согласно лемме 3.1 общее уравнение линии второго порядка приводится к виду . Рассмотрим следующие возможные случаи:

а) , , . Перенесём  в правую часть уравнения и разделим на него, получим

Так как  и , то, обозначая  и , получим

Последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы.

б) , , . Тогда уравнение (47) примет вид . Обозначая ,

, получим  или .

Последнему уравнению удовлетворяют координаты точек, расположенных на пересекающихся прямых  и . Таким образом, в данном случае, уравнение (47) определяет пару пересекающихся прямых.

в) , , . В этом случае уравнение (47) можно записать в виде

                                                                              .
.

Так как  и , то обозначая  и , получим

Что является уравнением гиперболы, сопряжённой к гиперболе

Все оставшиеся случаи получаются из рассмотренных случаев а, б, в.

3. Параболический тип. Если , то поворотом осей координат на угол , который был рассмотрен при доказательстве леммы 3.1, общее уравнение линии второго порядка может быть приведено к виду

Так как выражение  является инвариантом относительно поворота осей координат, то

. Т.е либо , либо . Пусть  и . Тогда из уравнения (49) найдем

Из этого уравнения имеем

 или

Перенесём начало координат параллельно оси  в точку  и перейдём к новым координатам  и , тогда

И уравнение (50) примет вид

где .

Рассмотрим два случая.

а) . Тогда уравнение (51) можно записать в виде

Перенесём начало координат параллельно оси  в точку , получим , . Учитывая последние равенства в уравнении (52), получим

 или , где .

б) , тогда

Если  и  имеют разные знаки, то уравнение (53) можно записать в следующем виде:

 где .

Уравнение (54) в свою очередь можно записать в виде . Это уравнение определяет пару параллельных прямых  и .

Если  и  имеют одинаковые знаки, то уравнение (53) примет вид: , где . Очевидно последнему уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки плоскости. Оно называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.

Наконец, если , то уравнение (53) примет вид  или . Последнее уравнение определяет ось  и оно называется уравнением пары совпадающих прямых.

В заключении сформулируем следующую теорему, справедливость которой следует из проведённого выше рассуждений.

Теорема 4.1. Пусть в прямоугольной системе координат задано общее уравнение линии второго порядка

Тогда существует такая прямоугольная система координат, в которой это уравнение принимает один из следующих девяти канонических видов:

1)  – эллипс;

2) - мнимый эллипс;

3) - пара мнимых пересекающихся прямых;

4) - гипербола;

5) - пара пересекающихся прямых;

6) парабола;

7)  - пара параллельных прямых;

8) - пара мнимых параллельных прямых;

9) - пара совпадающих прямых.