Условия пересечения, коллинеарности и ортогональности двух прямых. Угол между двумя пересекающимися прямыми.

Условие коллинеарности двух прямых.

Пусть  прямые  и заданные их общими уравнениями

Две прямые будем называть коллинеарными, если они либо параллельны, либо совпадают (сливаются).

Очевидно, что прямые, определяемые уравнениями (15) и (16) коллинеарны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы , . Коллинеарность векторов означает существует такого действительного число 𝜆, что  Следовательно прямые, заданные уравнениями (15) и (16), коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнены равенства:

В случае ,  равенства (17) и (18)  могут быть записаны в виде:

Равенство (19) является условием коллинеарности прямых  и

Замечание. В равенстве (17) мы предполагаем, что . Если хотя бы один их коэффициентов  обращается в ноль, например , то из равенства (17) имеем, что и .

 

 Рассмотрим определитель

Если прямые  и не коллинеарны, то нарушено равенство  (19), тогда очевидно определитель .

Заметим, что  является определителем основной матрицы системы линейных алгебраических уравнений

Данная система имеет единственное решение при условии, что  и эти решения определяются формулами Крамера:

Итак, если прямые, лежащие в плоскости  неколлинеарны, то координаты точки их пересечения находятся по формулам (21).

Если выполнено условие (19), то прямые  и  коллинеарны, т.е. они либо параллельны и не имеют ни одной общей точки, либо эти прямые совпадают.

Пусть прямые  и  коллинеарны, т.е. выполнено равенство (19). Обозначим каждое из отношений (19) через , т.е. положим, что

Тогда справедливы равенства . Рассмотрим произвольную точку , лежащую на прямой . Тогда координаты точки  удовлетворяют уравнению

Пользуясь равенствами (23), получим

Могут представиться два случая.

1. , тогда из равенства (24) найдём

. Из последних соотношений имеем

Следовательно в случае, когда  , произвольная точка  прямой  не лежит на прямой , т.е. у прямых  нет общих точек. Следовательно, условие

                                                                     (25)

 

является условием параллельности прямых .

2. Пусть теперь , где  – величина, указанная в равенствах (21). Тогда из равенства (24) получим

, т.е. точка  лежит как на прямой , так и на прямой . Следовательно эти прямые сливаются.

Итак, мы получили следующее условие слияния двух прямых

Заметим, что при выполнении условия (25) система линейных уравнений (20) не имеет решений, а при выполнении условия (26) имеет бесконечное множество решений.

Условие ортогональности двух прямых.

Любые две пересекающиеся в одной точке прямые  образуют два угла, в сумме равных 𝜋. Один из указанных углов совпадает с углом между нормальными векторами  и этих прямых.

Найдём угол между векторами  и

Пусть прямые  заданы их общими уравнениями (15) и (16), тогда , . Обозначим через  угол между векторами  и  Косинус этого угла может быть вычислен по формуле:

Учитывая в этой формуле, что

, ,

получим

В частности, если угол  прямой, то  и мы получим условие ортогональности прямых

        (28)

Пусть теперь прямые  заданы их уравнениями с угловыми коэффициентами

Запишем уравнения (27) и (28) в виде

Уравнения (31) и (32) являются общими уравнениями прямых  при , , , , , . При этом из условия (25) получим условие параллельности прямых

Из условия (26) получим условие слияния двух прямых

.

Из формулы (27) получим формулу для определения угла  между прямыми

Из условия (28) получим условие ортогональности прямых

                                                             

Рассмотрим теперь случай, когда прямые  заданы их каноническими уравнениями.

Из уравнений (37) и (38) получим

Уравнения (39) и (40) являются общими уравнениями прямых  при

. Тогда из условий (25), (26), (27), (28) получим

1. Условие коллинеарности .

2. Условие параллельности .

3. Условие слияния .

4. Формула  для вычисления угла .

5. Условие ортогональности .

Приведём ещё одну формулу для нахождения угла между двумя прямыми.

Пусть прямые  заданы уравнениями  

Пусть  - угол между прямыми , отсчитанный от прямой до прямой  против часовой стрелки. Тогда , либо , либо . Но во всех указанных случаях . Учитывая в последнем равенстве, что , , получим