Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция  называется бесконечно малой функцией в точке , если . Аналогично определяются бесконечно малые функции при

.

Приведем эквивалентное определение бесконечно малой функции «на языке ».

Функция  называется бесконечно малой функцией в точке , если для каждого положительного , существует такое положительное число , что как только будет выполняться неравенство

Теорема 4.4. Сумма и произведение двух бесконечно малых, при  функций, являются бесконечно малыми функциями.

 

Следствие. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых, при  функций являются бесконечно малыми функциями.

Справедливость приведённого следствия непосредственно вытекает из теоремы 3.4.

Функция  называется ограниченной на отрезке , если существует такое положительное число , что для всех  справедливо неравенство , или

Ограниченность функции  означает, что график этой функциивыходит из полосы  и .

Функция  называется ограниченной сверху на отрезке , если существует такое число , что для каждого

Функция  называется ограниченной снизу на отрезке , если существует такое число , что справедливо неравенство , для каждого

Из сказанного выше следует, что функция ограничена на отрезке  тогда и только тогда, когда она ограничена и сверху и снизу на отрезке .

 

Теорема 4.5. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является бесконечно малой функцией.

Доказательство. Пусть  – ограниченная функция, а  - бесконечно малая при  функция. Рассмотрим произвольную последовательность , сходящуюся к , элементы которой отличны от . Тогда последовательность  является бесконечно малой последовательностью, а  - ограниченной последовательностью. В силу теоремы 3.2 последовательность  будет бесконечно малой, т.е. . Из последнего равенства следует утверждение теоремы.

Функция  называется бесконечно большой функцией в точке  (или при ), если для любого  существует  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам , справедливо неравенство .

В этом случае пишут  и говорят, что функция стремится к бесконечности при , или, что она имеет бесконечный предел в точке .

Если для любого существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам  справедливо неравенство , то будем говорить, что функция  имеет в точке  бесконечный предел, равный .

Если для любого существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам  справедливо неравенство , то будем говорить, что функция  имеет правый бесконечный предел, равный .

Обозначение .

По аналогии определяются бесконечные левые пределы .

Теорема 4.6. Если функция  является бесконечно малой в точке  и  в некоторой окрестности точки , то функция  является бесконечно большой функцией в точке .

Доказательство. Пусть  – произвольное положительное число и рассмотрим положительное число . Для этого числа существует положительное  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам  справедливо неравенство  или  Следовательно, для всех , для которых  верно неравенство . Это означает, что   бесконечно большая функция в точке .

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Докажем, что .

Этот предел принято называть первым замечательным пределом.

 Рассмотрим дугу единичной окружности, с центральным углом, радиальная мера которого равна .

Тогда . Очевидно, что площадь  меньше площади сектора , которая меньше площади . Так как, ,

, то . Из этих неравенств и равенства (8), найдём: . Разделив обе части неравенств (9) на , найдём

 или . Из неравенств (10) находим  или . Так как, , то при , справедливо неравенство , поэтому из неравенств (11) имеем

. Т.к. , то , т.е. .

Для завершения доказательства равенства (7), достаточно воспользоваться неравенствами (12) и теоремой 4.3.

Второй замечательный предел.

                                        .

Доказательство равенства (13) основано на, доказанное в §4 равенство,

. Подробное доказательство равенства (13) см. Шипачёв В.С. «Высшая математика» стр. 81.

Третий замечательный предел. Докажем, что .

 Действительно. . Пусть . Тогда  при . Поэтому . В силу равенства (13), последний предел равен  Тогда .

Четвёртый замечательный предел. Докажем, что .

Очевидно, при , равенство (14) выполнено. Пусть  и . Обозначим  через . Тогда  при . . Тогда

Пятый замечательный предел. Докажем, что .

Пользуясь основным логарифмическим тождеством, представим  в виде . Обозначим . Тогда  при .

Из равенства (14) имеем  и . Т.е.

 

Непрерывные функции.

1. Определение непрерывной функции по Гейне и по Коши. Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки .

Функция  называется непрерывной в точке , если существует предел данной функции в точке и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. .

Пользуясь определением предела функции по Гейне и по Коши, приведем следующие два определения непрерывной функции.

Определение непрерывной функции по Гейне. Функция  называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента  сходящейся к пределу , соответствующая последовательность значений функции  сходится к пределу .

  Определение непрерывной функции по Коши. Функция  называется непрерывной в точке , если для любого положительного существует положительно число  такое, что для всех , для которых , справедливо неравенство .

Очевидно, приведенные определения эквивалентны.