Операция сложения и умножения вещественных чисел.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2.2. Для произвольного натурального  и произвольного действительного числа  найдутся два рациональных числа  и , такие, что  и .

Доказательство. Приведём доказательство для случая неотрицательного числа . Представим число  бесконечной десятичной дробью  . Фиксируем номер  и оборвав указанную десятичную дробь на n-ном знаке после запятой, мы получим рациональное число . Прибавив к рациональному числу  рациональное число , мы получим другое рациональное число . Очевидно, что .

Из правил сравнения вещественных чисел следует, что . Для случая неотрицательного  утверждение доказано.

Случай неположительного  сводится к рассмотренному случаю путём перехода к модулям.

Приведенная теорема имеет важное практическое значение, так как любое вещественное число можно заменить рациональным числом с требуемой степенью точности.

Важнейшим вопросом теории вещественных чисел является вопрос об определении операций сложения и умножения действительных чисел и о свойствах этих операций.

Начнём с определения операции сложения вещественных чисел. Известно как на практике складывают два вещественных числа : их заменяют с требуемой степенью точности рациональными числами  и  и за приближённое значение их суммы  берут сумму указанных рациональных чисел. При этом предполагается, что чем точнее рациональные числа  и  приближают вещественные числа  соответственно, тем точнее сумма  приближает то вещественное число, которое должно являться суммой вещественных чисел .

Приведенное выше практическое правило лежит в основе определения суммы двух вещественных чисел. Суммой вещественных чисел и  называется такое вещественное число , которое удовлетворяет неравенствам

для любых рациональных чисел , , ,  удовлетворяющих неравенствам

.

Оказывается, что такое вещественное число  существует, и притом только одно. При этом таким числом  является точная верхняя грань множества  сумм всех рациональных чисел  и , удовлетворяющих неравенствам  и .

Аналогичным образом вводится понятие произведения двух положительных вещественных чисел.

Произведением положительных вещественных чисел и  называется вещественное число , удовлетворяющее неравенствам , где , , ,  - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам

Точно так же, как и для суммы, такое число  существует, и притом только одно. Оказывается, таким числом является точная верхняя грань множества , где ,  - произвольные положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам 

Произведение вещественных чисел произвольного знака определяется следующим образом:

1) считают, что

2) считают, что

Введём теперь понятие разности и частного двух действительных чисел.

Разностью действительных чисел и  называется такое число , что . Разность чисел и  обозначается .

 

Частным двух вещественных чисел  и , где  называется такое вещественное число , что .

Итак, для действительных чисел мы ввели правило сравнения и операции сложения и умножения. Оказывается, для множества действительных чисел переносятся все 13 основных свойство сформулированных в пункте 1 параграфа 1.

В заключение отметим, что множество действительных чисел уже нельзя расширить до более широкого множества, в котором остались бы справедливыми правила сравнения, сложения, умножения и 13 основных свойств, т.е. множество вещественных чисел является полным относительно трёх указанных правил и 13 основных свойств.