Каноническое уравнение прямой в плоскости.

Пусть  - произвольная прямая в плоскости . - произвольная точка этой прямой.  – направляющий вектор прямой . Предположим, что .

Запишем параметрические уравнения прямой.

Определяя из каждого уравнения параметр , а затем приравнивая полученные значения, получим

Уравнение (3) называется каноническим уравнением прямой.

Из приведённых выше рассуждений следует, что точка  лежит на прямой  тогда и только тогда, когда её координаты  удовлетворяют уравнению (3).

Если , то из параметрического уравнения (2) имеем . Если

 то .

3. Общее уравнение прямой в плоскости.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Если прямая  принадлежит плоскости , то уравнение этой прямой в данной системе координат имеет вид

где хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля. И наоборот. Всякое уравнение (1), в котором хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, в некоторой системе координат  определяет прямую.

Уравнение (4) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Доказательство. Пусть – произвольная прямая плоскости – её направляющий вектор,  – произвольная точка прямой . Тогда параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

                                                                      .

Умножая первое уравнение на , а второе на , а затем вычитая из первого равенства второе, получим  или

                         . (5)

Обозначая , запишем уравнение (5) в виде

                                                         

Следовательно, уравнение прямой  имеет вид уравнения (4). При этом вектор  является  направляющим вектором прямой , по этому координаты не могут одновременно равняться нулю, следовательно, хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля.

Докажем теперь обратное. Пусть дано уравнение (4). Ниже мы покажем, что существует некоторая прямая  в плоскости  такая, что координаты точек, лежащих на прямой  и только они будут удовлетворять уравнению (4).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из одного уравнения

  (6)

 По условию , по этому, система из одного уравнения с неизвестными  имеет бесконечное множество решений. Пусть  и  - два различных решения уравнения (3). Т.е.

Вычитая из второго тождества первое, получим

Рассмотрим два вектора  и , где  Тогда равенство (8) можно записать в виде

                                         .            (9)       

Из равенства (9), в частности следует, что векторы  и  ортогональны.    

Рассмотрим в плоскости  точки  и Покажем, что координаты любой точки прямой, проходящей через точки  и только они удовлетворяют уравнению (4).          

Пусть  - произвольная точка плоскости. Очевидно, что точка  лежит на прямой  тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору , т.е когда вектор ортогонален вектору . Следовательно точка  принадлежит прямой  тогда и только тогда, когда выполнено равенство

                                        . (10)

Т.к. , то равенство (10) можно записать в виде:

Из первого равенства равенств (7) следует, что . Учитывая это в равенстве (11), получим .

Следовательно, координаты точек прямой  и только они удовлетворяют уравнению (4).

Любой ненулевой вектор, ортогональный к заданной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Замечание. Из доказательства теоремы 2.1 следует, что вектор  является одним из нормальных векторов прямой, определяемой уравнением .