Понятие вектора и линейные операции над векторами.

Вектором называется произвольный направленный отрезок. В дальнейшем, для обозначения вектора, будем пользоваться символом , где  – начало, а  конец данного направленного отрезка, либо одной латинской буквой, снабженной чертой, либо просто жирной латинской буквой, например   или  На чертеже будем изображать вектор стрелкой, причём букву обозначающую этот вектор будем ставить у его конца.

Начало вектора называется точкой его приложения. Длина вектора обозначается следующим образом или .

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Все нулевые векторы считаются равными.

Суммой двух векторов и  называется вектор, идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор приложен к концу вектора  .

Данное правило сложения двух векторов называется правилом треугольника.

Очевидно, что этот же вектор  + для неколлинеарных векторов может быть получен, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах

Это правило сложения векторов называется правилом параллелограмма.

Правило сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. (Коммутативность сложения)

2. (Ассоциативность сложения)

3. Существует нулевой вектор , такой что  для любого вектора .

4. Для любого вектора существует противоположный к нему вектор , такой, что

.

Доказательство свойств 1 и 2 для неколлинеарных векторов проводится непосредственно построением.

Для коллинеарных векторов свойства 1, 2 доказать самостоятельно.

Свойство 3 очевидно.

Свойство 4. Очевидно, так как для любого вектора  существует вектор , такой что . Т.е. .

Разностью векторов и  называется такой вектор , что .

Разность векторов   обозначается .

Теорема 3.1. Для любых векторов существует и притом единственная разность

Доказательство. Рассмотрим вектор . Тогда . Следовательно существует разность .

Докажем единственность разности векторов . Пусть  - разность векторов , тогда

Следовательно если  - разность векторов , то . Единственность доказана.

Замечание. Правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов  позволяет построить и разность , как другую диагональ параллелограмма.

Свойства 1 -4 позволяют распространить правило сложения на сумму любого конечного числа векторов.

Сумма любого конечного числа векторов может быть построена с помощью следующего правила: если приложить вектор  к концу вектора , вектор  к концу вектора , …, вектор  к концу вектора , то сумма  представляет собой вектор, идущий из начала вектора к концу вектора .

Естественно назвать это правило сложения векторов правилом замыкания ломаной до многоугольника.

Произведением вектора на число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину  и направление, совпадающее с направлением вектора  в случае  и противоположное направлению в случае .

Замечание. В случае, когда , или  произведение  представляет собой нулевой вектор, направление которого не определено.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

5. ;

6.

7.

Свойства 5 – 7 доказываются одинаково. Приведём доказательство свойства 5 для неколлинеарных векторов и при условии  (случай  рассматривается аналогично).

 

Приложим векторы  в общую точку . Построим вектор , как диагональ параллелограмма, построенного на векторах . Пусть  - конец вектора ( Т.к. , то векторы и (  имеют одинаковые направления. Пусть  - точка пересечения прямой  и прямой, проходящей через точку , параллельно вектору .  - точка пересечения прямой  и прямой, проходящей через точку  параллельно вектору . Тогда четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно

С другой стороны, из подобия треугольников ,  и треугольников  следует, что

Из равенств (2) и (3) следует, что , . Т.к.  и имеют одинаковые направления, получим Аналогично . Учитывая полученные выражения , найдем .

Доказательство свойства 5 для случая коллинеарных векторов и для случая  привести самостоятельно.