Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Системы с верхней трапециевидной матрицей.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с верхней трапециевидной матрицей Возможны следующие четыре случая. Случай 1. Пусть матрица имеет вид В случае 1 система (1) имеет вид При этом расширенная матрица системы (2) имеет вид . Легко заметить, что . Найти решение системы (2) не представляет труда: решая последовательно уравнения системы снизу вверх, мы каждый раз будем иметь дело с уравнением, содержащим только одно неизвестное. Заметим, что в случае 1 система (2), а стало быть и система (1) имеет единственное решение. Случай 2. Пусть матрица имеет вид В случае 2 система (1) имеет вид А расширенная матрица - вид . Как и в случае (1), . Назовём неизвестные – главными неизвестными, а – свободными. Перенося в уравнениях системы (3) все слагаемые, содержащие свободные неизвестные в правую часть, получим Решая последовательно уравнения системы (4) снизу вверх, мы получим выражения главных неизвестных через свободные - . Указанные выражения неизвестных через неизвестные называется общим решением системы (1). Придавая свободным неизвестным произвольные числовые значения , вычислим соответствующие значения главных неизвестных. Пусть эти значения . Очевидно, что упорядоченный набор является решением системы (3). Это решение называется частным решением. Так как свободным неизвестным можно придать бесконечное множество значений, то и система (3) имеет бесконечное множество решений. Следовательно, система (1), в случае имеет бесконечное множество решений. Случай 3. Пусть матрица имеет вид Тогда система (1) имеет следующий вид Докажем, что система (5) совместна тогда и только тогда, когда . Доказательство. Пусть система (5) совместна. Тогда существуют такие значения неизвестных , при которых все уравнения системы превращаются в тождества. Следовательно . Пусть теперь выполнены равенства . Тогда система (5) имеет вид
Система (6) называется укороченной системой. Очевидно, что, при выполнении равенств системы (5) и (6) эквивалентны. Основная матрица системы (6) имеет вид, рассмотренный в случае 2. Следовательно, система (6) имеет бесконечное множество решений, а стало быть, совместна.
Заметим, что в случае 3, при выполнении равенств , расширенная матрица системы (5) является верхней трапециевидной матрицей, при этом
Таким образом, в случае , если среди коэффициентов хотя бы один не равен нулю, то система (5) несовместна. Если же все , то система (5) имеет бесконечное множество решений. Случай 4. Пусть верхняя трапециевидная матрица имеет вид Тогда система (1) имеет вид Из чего следует, что система (7) совместна тогда и только тогда, когда все . При этом, если все , то система (7) эквивалентна укороченной системе (2), описанной в случае 1, которая имеет единственное решение. Заметим, что в случаях 3 и 4, равенство выполняется тогда и только тогда, когда . Следовательно, как и в случаях 1 и 2, система (1) совместна тогда и только тогда, когда Из проведённых выше рассуждений следует, что система линейных алгебраических уравнений с верхней трапециевидной матрицей совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы При этом система либо имеет единственное решение (, либо имеет бесконечное множество решений (, либо не имеет ни одного решения ( Системы общего вида Теорема Кронекера-Капелли. Рассмотрим систему , (1) где , , . Теорема 5.1.(Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Доказательство. Пусть - расширенная матрица системы (1). В силу теоремы 3.1 главы 1, матрицу путем элементарных преобразований строк и перестановками столбцов можно привести к матрице - верхней трапециевидной формы. Применяя эти преобразования к расширенной матрице , получим систему (2) эквивалентную системе (1). В силу теоремы 6.3 гл.1 . (3) Заметим, что матрица неизвестных может отличаться от матрицы только нумерацией неизвестных. Система (2) является системой с верхней трапециевидной матрицей. В силу результатов §4 главы 2, система (2) совместна тогда и только тогда, когда
. (4) Заметим, что при выполнении равенства (4), матрица является матрицей верхней трапециевидной формы, полученной из матрицы путем элементарных преобразований. В силу теоремы 6.3 гл.1 . (5) Из равенств (3), (4)и (5) следует, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда . Метод Гаусса исследования и решения системы. Метод Гаусса исследования и решения системы уравнений состоит в приведении её к системе с верхней трапециевидной матрицей, и последующим исследованием и решением получившейся системы.
Согласно теореме 3.1 §3 главы 1, основная матрица системы элементарными преобразованиями строк и перестановками столбцов приводится к верхней трапециевидной форме. Если используемые при этом элементарные преобразования применить к расширенной матрице , то мы придём к системе с верхней трапециевидной матрицей, решения которой могут отличаться от решений исходной системы только нумерацией неизвестных. Данное отличие возникает, если в процессе преобразования использовались перестановки столбцов основной матрицы . Поэтому после решения приведённой системы с верхней трапециевидной матрицей, необходимо восстановить исходную нумерацию неизвестных. Из проведённых выше рассуждений следует справедливость следующей теоремы. Теорема 5.2. (О структуре множества решений) Любая система линейных алгебраических уравнений c основной матрицей , расширенной матрицей и числом неизвестных либо совместна и имеет единственное решение (, либо совместна и имеет бесконечное множество решений (, либо не имеет ни одного решения (. Пример 1. Исследовать и решить систему Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме Система с последней расширенной матрицей несовместна. Пример 2. Исследовать и решить систему Решение. Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведём матрицу системы к верхней трапециевидной форме. Пример. Исследовать и решить систему Построить её общее решение, указать какое-нибудь частное решение. Элементарными преобразованиями приведём расширенную матрицу системы к верхней трапециевидной форме Как видим, свободными неизвестными будут и . Выразим через них главные неизвестные, решая уравнения системы последовательно снизу вверх. Итак, общее решение системы имеет вид . Частное решение системы получится, если в её общем решении задать значения свободных неизвестных, например, положить их равными . Тогда . Следовательно - частное решение.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 63; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.116.118.198 (0.02 с.) |