Статические и динамические режимы и характеристики

Статические режимы СУИМ характеризуются установив- шимися состояниями при неизменных входных воздействиях. Уравнения статики легко получить из уравнений динамики СУИМ, приравняв в них к нулю все производные переменных (ко- ординат состояния) по времени и внешних воздействий. В опера- торных уравнениях и структурных схемах линейных САУ это эк- вивалентно приравниванию к нулю оператора p. Таким образом, статическая характеристика системы (элемента) – это зави- симость выходной переменной системы (элемента) от какой-либо входной переменной в установившемся режиме.

Примером статической характеристики является механиче- ская характеристика электропривода – зависимость угловой часто- ты вращения вала двигателя от момента статической нагрузки на валу в установившихся режимах. Для электропривода постоянного тока такая характеристика приведена на рис. 2.3.

Как видим, при увеличении нагрузки на валу двигателя ско- рость вращения вала двигателя падает и появляется статическая ошибка регулирования скорости. При изменении нагрузки от нуля до номинального значения M _сн скорость вращения уменьшается от скорости холостого хода ω₀ до номинальной скорости ω_н.

В номинальном режиме абсолютная величина статической ошибки регулирования скорости вращения

Dwc = w0 - wн.

Найдем выражения для установившейся ошибки регулирова- ния в общем случае изменения входного (задающего или возму- щающего) воздействия линейной СУИМ.

ω ω₀ ω_н

 

M

0                                  M сн

 

Рис. 2.3. Статическая механическая характеристика двигателя постоянного тока

 

Передаточная функция любого замкнутого контура регулиро- вания электропривода с отрицательной обратной связью (рис. 2.4) определяется передаточными функциями прямого W ₁(p) и обрат- ного W ₂(p) каналов регулирования [13, 14]:

( ) =      =

 Y (p)

W р

W ₁ (p).

 

з                X (p)

W ₁ (p) W ₂ (p) + 1

Отсюда изображение ошибки регулирования в системе

e(p) =  X (p) -  W ₁ (p) W ₂

(p)e(p) =

1

W ₁ (p) W ₂

 

(p) + 1

X (p), (2.1)

e (p)

а передаточная функция по ошибке

 

1

W _e (p) =     =                    .

 

 

 

(2.2)

X (p) W ₁ (p) W ₂ (p) + 1

 

Рис. 2.4. Структурная схема замкнутого контура регулирования

 

Как следует из формулы (2.1), ошибка регулирования будет

стремиться к нулю при X = const, если

W ₁ (p) W ₂ (p) ® ¥,

что

предполагает реализацию бесконечно большого усиления в уст- ройстве управления и может привести к неустойчивости системы. Кроме того, реальные динамические звенья обладают конечными коэффициентами усиления, что приводит к возникновению нену- левой статической ошибки регулирования. Такие системы приня- то называть статическими.

Между тем статическая ошибка регулирования в системе при неизменном входном воздействии X может быть сведена к нулю,

если сделать равной нулю передаточную функцию

W _e (p)

при

p = 0. Для этого достаточно в прямой или обратный канал регули- рования системы, приведенной на рис. 2.4, ввести интегрирующее звено. На практике интегрирующее звено вводят в структуру уст- ройства управления, применяя И-, ПИ-, ПИД-регуляторы. Это

обеспечивает

W ₁ (p) ®¥ и тем самым нулевую статическую

ошибку регулирования. Такие системы принято называть аста- тическими нулевого порядка по задающему или(и) возмущающе- му воздействию. Для придания системе астатизма более высокого

(первого) порядка в структуру регулятора вводят два интегратора. Часто в структуре самого объекта управления имеются интегри- рующие звенья, например ГИМ, что заведомо придает системе свойство астатизма.

Величина установившейся ошибки регулирования, наличие и порядок астатизма замкнутой САУ определяются не только ее моделью, но и видом входного сигнала. Определим, как вид вход- ного воздействия влияет на величину установившейся ошибки.

Передаточную функцию разомкнутой СУИМ запишем в виде

 

 

K Õ(p +  z_i)

n

W раз (p) =  W 1 (p) W 2 (p) =          i = 1                       ,

 

(2.3)

j

p^k Õ(  p + p)

j =1

где K – коэффициент передачи; p_j, z_i – полюсы и нули передаточ- ной функции (2.3).

В установившихся режимах (при p = 0) передаточную функ- цию (2.2) можно записать в виде

W e (p) =             = p ®0

e (p) X (p)

1,

K i + 1

где K_i – коэффициент ошибки системы, определяемый видом входного воздействия, i = 0, 1, 2.

Поскольку в качестве типовых тестовых сигналов применяют ступенчатое (для систем стабилизации), линейное и квадратичное (для программных и следящих СУИМ) входные воздействия, для оценки установившихся ошибок в системе выделяют три типа ко- эффициентов ошибок:

1) коэффициент ошибки по положению (i = 0)

®¥

K ₀ = lim W _раз (p);

p

2) коэффициент ошибки по скорости (i = 1)

®¥

K ₁ = lim pW _раз (p);

p

3) коэффициент ошибки по ускорению (i = 2)

K = lim p ² W

(p).

2    p ®¥

раз

Установившиеся ошибки для трех типов входных воздейст- вий и трех типов передаточной функции W _раз(p) – с отсутствием интеграторов, с одним и двумя интеграторами – приведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Установившиеся ошибки регулирования СУИМ

 

Число интеграторов	Входной сигнал
	Ступенчатый X (t) = A X (p) = A/p	Линейный X (t) = A X (p) = A/p ^2	Квадратичный X (t) = At ^2/2 X (p) = A/p ^3
0	ε = A /(1 + K 0)	ε → ∞	ε → ∞
1	ε → ∞	ε = A / K 1	ε → ∞
2	ε → 0	ε → 0	ε = A / K 2

 

Динамические режимы СУИМ характеризуются переход- ными состояниями системы при изменении начального состояния, а также входных (задающих и(или) возмущающих) воздействий. При этом различают свободные и вынужденные процессы.

Свободный (собственный) процесс в системе определяется ре- шением однородного дифференциального уравнения, описывающе- го СУИМ, протекает под действием ненулевых начальных условий Y (t ₀) ≠ 0 и в устойчивых системах асимптотически затухает:

0

Y (t ) =  e ^A (t   - t 0) Y (t ),

(2.4)

 

где

e A (t   - t 0)

 

– матрица перехода системы из начального Y (t ₀)

в текущее Y (t) состояние.

Назовем процесс вынужденным, если промежуток времени между моментом t _з(t _в) приложения задающего (возмущающего) воздействия X (t) и моментом наблюдения выходной величины Y (t) равен бесконечности. Тогда процесс изменения выходной величи- ны будет иметь вид [1, 16]

 

¥

Y (t ) = ò  w (t) X (t  - t) d  t,

0

 

(2.5)

где w (τ) – импульсная переходная функция по задающему (возму-

щающему) воздействию.

Полное решение уравнения движения линейных СУИМ пред- ставляет собой сумму решений уравнений свободного и вынуж- денного движения.

В теории управления к типовым тестовым воздействиям от- носят, как правило, единичное ступенчатое и единичное импульс- ное воздействия. Соответствующие динамические реакции систем на эти воздействия называют переходным процессом и импульсным переходным процессом.

В качестве примера на рис. 2.5 приведена реакция электро- двигателя постоянного тока на ступенчатое приложение номи- нальной нагрузки M _сн к его валу (возмущающего воздействия).

При приложении номинальной нагрузки скорость ω(t) двига- теля падает, причем имеет место колебательный процесс. Макси- мальный динамический провал скорости Δω_дин может превышать статическое падение скорости Δω_с (см. рис. 2.5).

Вынужденное движение соответствует новому установивше- муся состоянию – номинальной скорости ω_н электродвигателя. Время переходного процесса (перехода в новое установившееся состояние) составляет t _рег.

Задача исследования динамических свойств СУИМ в концеп- ции современной теории управления выполняется путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желае- мой, как правило, выходной, переменной СУИМ. Для этой цели применяют матрицу переходных состояний.

 

0                                   t рег

 

Рис. 2.5. Реакция электродвигателя постоянного тока на возмущающее воздействие в виде ступени номинальной нагрузки на валу

 

Если известны в момент времени t = 0 начальное состояние X (0) объекта управления и вектор U (t) внешних для СУИМ воз- действий, то уравнение движения системы во времени определяет- ся выражением [14, 16]

 

t

X (t ) =  Ф (t ) X (0) + ò Ф  (t  - t) BU  (t) d  t.

0

 

(2.6)

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (2.6) от- ражает свободное движение многомерной линейной системы управления и аналогично скалярному выражению (2.4), описы- вающему свободное движение одномерной системы. Второе сла- гаемое в формуле (2.6) отражает вынужденное движение много- мерной линейной САУ и аналогично выражению (2.5), описы- вающему вынужденное движение одномерной системы.

Матрицу Ф (t), определяющую динамические процессы в сис- теме, называют переходной матрицей состояния или просто мат- рицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матри- цы, базирующихся на описании систем как во временной области

(в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменного p (в операторной фор- ме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определе- ния матрицы перехода во временной области используют матрич- ную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ог- раниченным числом k (k < ∞) членов ряда [12–16]:

 

¥

Φ (t ) = exp(A t ) = å

k =0

A kt k

k!

 

= E + A t

(A t )2

2!

(A t )3

+

3!

 

+... +

(A t ) k

k!

 

+...,

где E – единичная матрица;! – знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения, описывающего ли- нейную систему управления, можно получить и в области ком- плексного переменного p, применив преобразование Лапласа:

X  (p) = [ p E  -  A ]-1 X  (0) + [ p E  -  A ]-1 BU  (p),

где  [ p E  -  A ]-1

 

– преобразование Лапласа переходной матрицы

состояния, т.е.   Φ (p ) = [ p E  -  A ]-1.

В частности, для свободного движения системы под действи- ем ненулевого начального состояния X (0) можно записать

X (p) =  Φ (p) X (0).  

76

Важнейшей задачей проектирования СУИМ является синтез оптимального устройства управления, т.е. определение структуры и параметров УУ, обеспечивающих достижение цели управления. При этом целью управления задаются в виде какого-либо фор- мального критерия качества управления, например критерия мак- симального быстродействия отработки задающих и возмущающих воздействий, критерия минимальной интегральной ошибки регу- лирования и др. Общие вопросы исследования и проектирования СУИМ рассмотрены в следующем подразделе.