САР положения с нелинейным регулятором

Режим средних и больших перемещений характеризуется вы- ходом как минимум ускорения двигателя на режим ограничений, т.е. e_max = (d w/ dt)_max = (M _max + M _c)/ J _пр (полагаем статическую на- грузку на валу электродвигателя постоянной). В этом случае СУ- ИМ становится нелинейной. Следовательно, для синтеза регулято- ра положения теория линейных систем неприменима, а сам регу- лятор не может быть представлен передаточной функцией.

Установим соотношение между скоростью начала торможе- ния w_нт и приращением перемещения Dj_т в режиме средних пере- мещений (см. рис. 8.1, б):

 

Dj = K

t нт +D t

 

w dt =

K j J пр

 

0

w d w = -

K j  J

2

w

пр  нт

= - K

w2

j нт,

т         j ò

М + M ò

2(М

 

+  M  ) 2e

t нт

max          c wнт

max          c                     max

где t _нт, D t – время начала торможения и время торможения.

Отображение полученного выражения на плоскости коорди- нат w_нт и Dj_т называется фазовым портретом (рис. 8.4).

Относительно конкретной точки А фазового портрета (см. рис. 8.4) найдем выражение для коэффициента передачи регу- лятора положения:

K =  U рп

=  K cwнт

= 2 K cemax.

 

(8.2)

рп    D U K Dj K K w

п          п     т          п j нт

Как видим, коэффициент передачи РП в режиме средних пе- ремещений зависит от скорости начала торможения w_нт и пред- ставляет собой нелинейное звено. При малых перемещениях ко- эффициент передачи звена стремится к бесконечности, что сделает позиционную САР неустойчивой. Для обеспечения постоянст- ва K _рп и устойчивости системы во всем диапазоне средних пере- мещений принимают w_нт = w_max, т.е.

Рис. 8.4. Фазовый портрет позиционной САР для режима средних перемещений

 

рп

K = 2 K cemax  .

K п K jwmax

Заметим, что e_max = w_max / D t _min. Сравнивая выражения для K _рп в режимах малых и средних перемещений, можно убедиться, что время разгона (торможения) до максимальной скорости при на-

стройке контура положения на АО D t _min ³ 8 T _mп, а следовательно, необходимо учитывать фактор ограничения максимального уско- рения e_max электропривода при аппроксимации регулятора поло- жения линейным пропорциональным звеном.

При такой настройке РП система остается линейной в режи- мах малых и средних перемещений, однако оптимальное по быст- родействию (производительности) позиционирование возможно только при w_нт = w_max, т.е. лишь в одной точке фазового портрета. При меньших перемещениях позиционирование будет осуществ- ляться с дотягиванием, при больших – с перерегулированием. Очевидно, что оптимальное позиционирование во всех трех ре- жимах перемещений требует применения нелинейного регулятора положения.

Сделаем допущение, что статическая ошибка позиционирова- ния в ЗКРП отсутствует и ЗКРС имеет достаточное быстродейст- вие. В этом случае выходное напряжение регулятора положения для момента времени, соответствующего началу торможения, можно представить в виде

U рп = K рпD U п = K cwнт.

Подставляя в это соотношение выражение (8.2) для K _рп в ре- жиме средних перемещений, получим

 

 

или

 

2

U

рп

 

 

U = K

 

2

= 2 K e

     c max

K п K j

 

D U п

 

= K ¢     ,

рп         c                                                     pп

 

где K ¢_рп – постоянный коэффициент передачи параболического ре-

гулятора положения,   K р¢п  = K c               .

Таким образом, оптимальный нелинейный регулятор положе- ния для режима средних перемещений представляет собой нели- нейность типа «корень квадратный», получивший название «пара- болический регулятор».

Режим больших перемещений характеризуется позициониро- ванием с предельно допустимой скоростью w_max, что достигается ограничением выходного сигнала регулятора скорости на уровне U _рп = K _cw_max. Функциональная зависимость «вход-выход» нели- нейного регулятора, обеспечивающего оптимальное качество ре- гулирования положения рабочего органа при позиционировании во всех трех режимах, приведена на рис. 8.5.

В режиме средних перемещений (РСП) характеристика РП имеет нелинейность типа «корень квадратный», в режиме больших перемещений (РБП) – нелинейность типа «насыщение» (на уровне K _cw_max), в режиме малых перемещений (РМП) характеристика РП имеет линейную зависимость с коэффициентом передачи, обеспе- чивающим оптимальную настройку ЗКРП на АО в режиме малых

перемещений, т.е. K рп

=  K c       .

4 T K K

mп j п

 

Рис. 8.5. Характеристика «вход-выход» параболического регулятора положения

Нелинейная характеристика такого РП реализуется включе- нием диодно-резистивной матрицы в обратную связь операцион- ного усилителя или программно в микропроцессорных СУИМ.

 

8.4. Инвариантные и квазиинвариантные следящие СУИМ

Рассмотрим структурную схему следящей системы с подчи- ненным контуром регулирования скорости электропривода (рис. 8.6).

Рис. 8.6. Структурная схема следящей СУИМ с подчиненным контуром регулирования скорости

 

Воздействие статической нагрузки M _с на валу электропривода здесь приведено к выходу замкнутого контура регулирования ско- рости (ЗКРС).

Пусть ЗКРС настроен на ТО, т.е. применен П-регулятор ско- рости, а следовательно,

W зкрс

(Р) =                      .

 

Передаточная функция W _мс(P) в этом случае может быть по- лучена из рассмотрения структурной схемы ЗКРС, приведенной на рис. 7.3, в которой

W (Р) =  K =

K рс T м     .

рс                    рс

2 T mc R э K д K с

Полагая U _зс = 0 и принимая во внимание, что M _c = i _c / K _д, по- лучим

 

W мс

(Р) =                               .

 

Введем обозначения:

K = 1 K; K = 2 Т R K ² Т;

зкрс              c       мс

А (  Р) = 2 Т mс Р (2 Т mс Р + 1) + 1;

Тогда получим

mс  э  д       м

B (Р) = 2 Т _mс  Р + 1.

W (Р) =  K зкрс, W

(  Р) =  K _мс В (Р).

 

зкрс

A (P) мс

A (P)

Если ЗКРС настроен на СО, т.е. применен ПИ-регулятор ско- рости, и на его входе установлен фильтр с постоянной времени 4 T _mc, то его передаточная функция имеет вид

 

W зкрс

(Р) =

4 T P é2 T P (T P + 1) + 1ù + 1.

mc  ë mc       mc                      û

Передаточная функция W _мс(P) может быть получена анало- гично предыдущему случаю из рассмотрения структурной схемы ЗКРС, приведенной на рис. 7.3, в которой

 

W рс

(Р) =

4 T mc Р + 1   .

 

Полагая U _зс = 0 и принимая во внимание, что M _c = i _c / K _д, по- лучим

 

W мс

(Р) =

4 T Р é2 T Р (T Р + 1) + 1ù + 1.

mc  ë mc        mc                      û

Введем обозначения:

K = 1/ K; K = 2 T R K 2 / T;

зкрc             с      мс           μc  э  д    м

A (P) = 4 T μc P [2 T μc P (T μc P + 1) + 1] + 1; B (P) = 4 T μc P (T μc P + 1),

позволяющие получить те же обобщенные выражения для W _зкрс(P)

и W _мс(P):

W (Р) =  K зкрс, W

(  Р) =  K _мс В (Р).

 

зкрс

A (P) мс

A (P)

С учетом обозначений структурной схемы (см. рис. 8.6)

и введенных обозначений можно записать

j(Р) =  K j

K зкрс W

(Р) K Dj(Р) -  K j

K _мс  В (Р) М

(Р).

P А (Р)

рп              п

P А (Р) с

Поскольку j(P) = j_з(P) – Dj(P), предыдущее выражение можно переписать относительно ошибки Dj(P):

з

Dj(Р) =            А (  Р)        j&

А (Р) Р +  K j  K зкрс K рп K п

(Р) +

K j  K мс В (Р)

+ А (Р) Р +  K K K K

М _с (Р),

j зкрс рп п

где  j& з  – задание перемещения с постоянной скоростью («постоян-

ная заводка»),  j& з = w_з.

Пусть ЗКРС настроен на ТО. Для квазиустановившегося ре- жима (P = 0) получим величину установившейся ошибки следящей САУ:

Djуст =

1

K  K K K

j& з  +

K мс

K K K

 

М с.

 

(8.3)

j зкрс  рп п                     зкрс рп п

Данное выражение позволяет рассчитать добротность следя- щей системы по скорости в соответствии с выражениями (5.2):

w

D = wз

= j& з

 

= K  K K K.

 

Djуст    Djуст

j зкрс рп п

Подставляя в данное выражение значение K _рп, рассчитанное по выражению (8.1) для системы, настроенной на АО, и значение K _зкрс = 1/ K _с, получим

D w = 1 4 T mп.

Выражения (5.3) и (8.3) позволяют рассчитать добротность следящей системы по моменту статической нагрузки на валу элек- тропривода:

K

D = М с = K зкрс K рп K п = 1 4 T K K.

мс    Dj

mп

уст                     мс

j мс

Таким образом, для снижения Dj_уст, а следовательно, для уве- личения добротности следящей СУИМ необходимо увеличивать быстродействие замкнутого контура регулирования положения (ЗКРП) за счет повышения быстродействия внутренних контуров регулирования тока и скорости. Это предполагает применение ма- лоинерционных силовых и информационных преобразователей, а также реализацию оптимальных по быстродействию алгоритмов управления. Величина добротности системы по моменту опреде- ляется не только быстродействием ЗКРП, но и величиной K _j K _мс.

Эффективным средством повышения точности следящих сис- тем управления является применение комбинированного управле- ния, обеспечивающего инвариантность (квазиинвариантность) СУИМ по отношению к задающим и возмущающим воздействиям. Структурная схема такой системы приведена на рис. 8.7.

Рис. 8.7. Структурная схема инвариантной следящей СУИМ

В структуру следящей системы управления введено два звена компенсации влияния задающего и возмущающего воздействий (W _к1(P) и W _к2(P)). Инвариантность системы к изменению задающе- го воздействия обеспечивает звено W _к1(P), инвариантность к изме- нению возмущающего воздействия – звено W _к2(P).

Для нахождения передаточных функций этих звеньев вос- пользуемся принципом суперпозиции. Сначала будем полагать, что M _с = 0. Тогда можно записать

j(P) = (K _j / P) W _зкрс(P)[ U _рп(P) + U _к1(P)] =

= (K _j / P) W _зкрс(P)[ W _рп(P) K _п Dj (P) + W _к1(P) j_з(P)].

Полагая, что в инвариантной СУИМ Dj (P) = 0, j(P) = j_з(P),

получим

j _з(P) = (K _j / P) W _зкрс(P)[ W _к1(P) j_з(P)].

Отсюда W _к1(P) = P / K _j W _зкрс(P).

Для нахождения W _к2(P) будем полагать j_з(P) = 0. Тогда мож- но записать

j(P) = (K _j / P)[– W _мс(P) M _с(P) + W _к2(P) W _рп(P) W _зкрс(P) M _с(P)] = 0.

Отсюда W _к2(P) = W _мс(P) / W _рп(P) W _зкрс(P).

Заметим, что для обеспечения полной инвариантности следя- щей системы по отношению к задающим и возмущающим воздей- ствиям требуется формирование «чистых» производных этих воз- действий. Если ЗКРС имеет достаточно высокое быстродействие и может быть представлен апериодическим звеном первого поряд- ка в виде W _зкрс(P) = (1 / K _c) / (T _c P + 1), то для обеспечения полной инвариантности и, соответственно, астатизма бесконечно высоко- го порядка по задающему воздействию необходимо ввести первую и вторую производные от задающего воздействия.

В действительности ММ ЗКРС может существенно отличать- ся от принятой модели в силу целого ряда факторов: температур- ного и временного дрейфа параметров якорной цепи двигателя, наличия дискретности и неполной управляемости тиристорного

225

преобразователя, неидеальности и упругости кинематической пе- редачи электропривода и т.д. Кроме того, как уже отмечалось, имеет место проблема формирования сигналов производных про- извольно меняющегося задающего воздействия.

Проблема обеспечения полной инвариантности СУИМ к воз- мущающим воздействиям усугубляется сложностью получения достаточно точной оценки самого возмущения – сигнала, пропор- ционального статической нагрузке на валу двигателя. Все это при- водит к тому, что на практике, как правило, ограничиваются вве- дением в закон управления лишь первых производных задающего и возмущающего воздействий, а следовательно, полученные пере- даточные функции W _к1(P) и W _к2(P) аппроксимируют пропорцио- нально-дифференциальными (ПД) звеньями.

Следящая СУИМ с комбинированным управлением, содер- жащая такие звенья, позволяет практически достичь астатизма первого порядка по задающему и возмущающему воздействиям (скоростная и моментная ошибки отсутствуют). При этом система приобретает качества, подобные введению интегратора в структу- ру регулятора положения. Важно отметить, что введение компен- сирующих звеньев не изменяет характеристического уравнения системы, замкнутой по положению, а следовательно, не оказывает влияния на устойчивость следящей системы. Система комбиниро- ванного управления с упрощенной структурой компенсирующих звеньев обеспечивает частичную инвариантность по отношению к задающим и возмущающим воздействиям и носит название квази- инвариантной по отношению к этим воздействиям.

 

 

ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫЕ СУИМ

Электромеханические объекты управления, как отмечалось в главах 3 и 4, представляют, как правило, линейными или нели- нейными непрерывными моделями. Вместе с тем само устройство управления может быть как непрерывным (аналоговым), так и дискретным. Дискретный характер управления позволяет реали- зовать ряд преимуществ, недостижимых для непрерывных СУИМ. Это возможность реализации алгоритмов управления практически любой сложности, реализации максимального быстродействия или точности, возможность перенастройки и автонастройки устройства управления, возможность самодиагностики, управления по про- мышленной сети и др.

К дискретно-непрерывным СУИМ относятся релейные (ре- лейно-импульсные) и цифровые СУИМ. Первые применяются преимущественно для управления ЭИМ постоянной скорости (см. подразд. 5.2), вторые – ЭИМ переменной скорости (см. главу 6). Вместе с тем микропроцессорные контроллеры, а следовательно, цифровые средства автоматизации применяются и в тех, и других СУИМ, реализуя разные алгоритмы управления.

 

9.1. Дискретизация сигналов и Z -преобразование

В дискретных и дискретно-непрерывных системах в отличие от непрерывных имеется хотя бы одна координата состояния или управления, имеющая дискретный характер.

Достаточным условием дискретности систем управления явля- ется разрывная статическая характеристика. На рис. 9.1 приведена типовая функциональная схема дискретно-непрерывной СУИМ.

Обозначения на рис. 9.1:

ДЭ – дискретный элемент; НЧ – непрерывная часть;

x (t) – входной непрерывный сигнал;

e (t) – непрерывный сигнал ошибки;

u^* (t) – дискретный сигнал;

y (t) – непрерывный выходной сигнал.

 

ДЭ

x (t)            e (t)

–

u ^*(t)

 

y (t)

 

НЧ

Рис. 9.1. Функциональная схема дискретно-непрерывной СУИМ

 

Звено, в котором происходит дискретизация сигнала, называ- ется дискретным элементом.

Дискретный характер имеют релейные, импульсные и цифро- вые сигналы.

Релейные системы оперируют с сигналами, квантованными по амплитуде. Например, релейное управление может быть реали- зовано с помощью двухпозиционного реле в соответствии с выра- жением

u  (t) =  U_m sign éëe(t )ûù,

где U_m – амплитуда управляющего воздействия;

 

sign éëe(t)ûù  –

знаковая функция текущей ошибки e(t )

управления,

ï

ì1, e(t ) > 0, sign éëe(t)ùû = í0, e(t) = 0,

î

ï-1, e(t) < 0.

В импульсных системах имеются сигналы, квантованные по времени (амплитудно-импульсные, широтно-импульсные, частот- но-импульсные, фазоимпульсные и др.). Период T квантования сигналов в таких системах, как правило, постоянный. Например, широтно-импульсное нереверсивное управление можно предста- вить в виде

 

 

где

 

l éëe(t)ùû

u  (t) =  U_m l éëe(t )ùû ,

– скважность управления как некоторая функция

текущей ошибки управления, т.е. отношение времени t _у генерации управляющего воздействия с амплитудой U_m к периоду T

t _y (t )

управления,  l éëe(t)ùû =   T  .

Цифровые системы управления оперируют с сигналами, квантованными по времени и по амплитуде и представленными в виде цифровых кодов.

Квантование непрерывного сигнала по времени реализуется с помощью импульсного модулятора, а квантование по амплитуде – с помощью амплитудного квантователя (рис. 9.2).

 

T

Квантователь

 

Импульсный модулятор                   Амплитудный квантователь

 

Рис. 9.2. Квантование непрерывных сигналов в цифровых САУ

 

В соответствии с теоремой Котельникова – Шеннона им- пульсный модулятор должен обеспечивать дискретизацию непре- рывного сигнала по времени с частотой, по крайней мере в 2 раза превышающей максимальную частоту изменения непрерывного сигнала. В любом случае частота квантования по времени должна быть выбрана такой, чтобы обеспечить наилучшее восстановление непрерывного сигнала (исходных данных) на интервале времени kT £ t £ (k + 1) T по дискретным выборкам в k -е моменты времени, где k – номер такта квантования, T – период квантования.

Таким образом, процесс восстановления непрерывного сигна- ла может рассматриваться как процесс экстраполяции. Функция f (t) на интервале T может быть представлена в виде ряда Тейлора:

f (t) =   f (kT) +  f ¢(kT)(t -  kT) +   f ¢ ¢ (kT)  (t -  kT)2  + ...,

2!

 

(9.1)

где

f ¢(kT ),

f ¢ (kT) – оценки производных в момент времени t = kT, f ¢(kT) = 1  éë  f (kT) - f ((k -1) T)ùû;

T

T

f ¢¢(kT) = 1  éë  f ¢(kT) - f ¢((k -1) T)ùû =

= 1 é  f (kT) - 2 f ((k -1) T) + f ((k - 2) T)ù;

T 2 ë                                               û

….

Таким образом, для повышения точности экстраполяции сиг- нала требуется либо использовать информацию о выборках в про- шедшие моменты времени, либо повышать частоту квантования по времени. Поскольку временное запаздывание оказывает неблаго- приятное влияние на устойчивость систем управления с обратной связью, на практике обычно идут по второму пути, ограничиваясь удержанием лишь первого члена разложения ряда (9.1), т.е. на ин-

тервале T принимают

f (t) =  f (kT).

Импульсный модулятор, в котором удерживается лишь член f (kT), содержит два элемента (см. рис. 9.2) – квантователь непре- рывного сигнала по времени с периодом T и фиксатор Ф нулевого порядка (экстраполятор нулевого порядка). Квантователь можно рассматривать как идеальный ключ, замыкающийся на бесконечно короткое время через каждый такт T. Тогда выходной сигнал кван- тователя будет представлять собой функцию

¥

f ^* (t) = å  f (kT )d(t  -  kT),

k =0

(9.2)

где

f (kT )

– значение входного непрерывного сигнала в момент

времени kT замыкания ключа, k = 0…∞; d(t -  kT)

– единичная им-

пульсная функция (δ-функция), генерируемая в момент времени k

замыкания ключа.

Фиксатор сохраняет неизменным значение сигнала

f (kT)

в течение периода T квантования. Передаточная функция фиксато- ра, реагирующего на импульсные воздействия вида (9.2), находит- ся по формуле

ф

W _ф (р) =

f ^* (p) f ^* (p)

1-  e - Tp

=

.

p

Реакция импульсного модулятора (квантователя и фиксатора) на некоторое непрерывное воздействие f (t) приведена на рис. 9.3. Вертикальными стрелками обозначена реакция (решетчатая функ- ция) собственно квантователя, реализующего процесс дискретиза- ции по времени.

Рис. 9.3. Реакция импульсного модулятора на непрерывное воздействие f (t)

В схемотехническом плане функции квантователя и экстра- полятора (фиксатора) нулевого порядка реализуют с помощью устройства выборки-хранения (УВХ) [10].

Амплитудный квантователь обеспечивает квантование вход-

ного сигнала

f ^* (t )

по уровню и выполняется на основе аналого-

ф

цифровых преобразователей (АЦП). При достаточно большом числе двоичных разрядов АЦП (12–24) квантованием по уровню при исследовании цифровых систем обычно пренебрегают и циф- ровые СУИМ рассматривают как импульсные (амплитудно-им- пульсные с фиксатором нулевого порядка).

Анализ и синтез импульсных систем осуществляют, как пра- вило, с применением метода Z -преобразования или разностных уравнений.

Преобразование Лапласа квантованного по времени сигнала имеет вид

¥

F ^* (p) = å  f (kT ) e ^{- kTp} .

k =0

(9.3)

Сделаем замену z = e^Tp, что позволит получить Z -преобра-

зование вида

¥

F ^* (z) = å  f (kT) z ^{- k}  ,

k =0

 

где z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

Re(z) =  e^{T s} cos(w T ),

Im(z) =  e^{T s} sin(w T ),

где s+ j w = p.

Анализ проекций комплексной переменной z на оси Re(z) и Im(z) позволяет сделать вывод, что область устойчивости дис- кретной САУ на комплексной плоскости ограничена окружностью единичного радиуса.

Физический смысл сомножителя z^–k при функции f (kT) – фик- сация и запоминание в ячейках памяти ЭВМ ее текущего (k = 0) и предшествующих значений (k = 1, 2, …).