Распределения непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная величина Х распределена равномерно на интервале (a, b), если все ее возможные значения находятся на этом интервале и плотность распределения вероятностей постоянна:

(29)

Для случайной величины Х, равномерно распределенной в интервале (a, b) (рис. 4), вероятность попадания в любой интервал (x 1, x 2), лежащий внутри интервала (a, b), равна:

(30)

Рис. 4. График плотности равномерного распределения

 

Примерами равномерно распределенных величин являются ошибки округления. Так, если все табличные значения некоторой функции округлены до одного и того же разряда , то выбирая наугад табличное значение, мы считаем, что ошибка округления выбранного числа есть случайная величина, равномерно распределенная в интервале

Показательное распределение. Непрерывная случайная величина Х имеет показательное распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(31)

График плотности распределения вероятностей (31) представлен на рис. 5.

Рис. 5. График плотности показательного распределения

 

Время Т безотказной работы компьютерной системы есть случайная величина, имеющая показательное распределение с параметром λ, физический смысл которого – среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев системы для ремонта.

Нормальное (гауссово) распределение. Случайная величина Х имеет нормальное (гауссово) распределение, если плотность распределения ее вероятностей определяется зависимостью:

(32)

где m = M (X), .

При нормальное распределение называется стандартным.

График плотности нормального распределения (32) представлен на рис. 6.

Рис. 6. График плотности нормального распределения

 

Нормальное распределение является наиболее часто встречающимся в различных случайных явлениях природы. Так, ошибки выполнения команд автоматизированным устройством, ошибки вывода космического корабля в заданную точку пространства, ошибки параметров компьютерных систем и т.д. в большинстве случаев имеют нормальное или близкое к нормальному распределение. Более того, случайные величины, образованные суммированием большого количества случайных слагаемых, распределены практически по нормальному закону.

Гамма-распределение. Случайная величина Х имеет гамма-распределение, если плотность распределения ее вероятностей выражается формулой:

(33)

где – гамма-функция Эйлера.

Основные свойства гамма-функции:

Параметры – любые положительные числа. Гамма-распределение является также распределением Пирсона типа III [3]. При гамма-распределение превращается в показательное распределение с параметром λ, так как Г(1) = 1. Гамма-распределение широко используется в математической статистике. Hа рис. 7 представлены графики плотности гамма-распределения (33) при .

Рис. 7. Графики плотности гамма-распределения

 

 

билет №_10_

Накопители на жестких магнитных дисках. Устройство, технические характеристики, физический и логический уровни хранения информации (дорожка, сектор, цилиндр, кластер, файл).

Точечные оценки параметров. Случайные и систематические ошибки. Оценочные функции. Характеристики качества оценок: смещенность, эффективность, робастность. Оценки математического ожидания и дисперсии.

Точечные оценки параметров. Случайные и систематические ошибки. Оценочные функции. Характеристики качества оценок: смещенность, эффективность, робастность. Оценки математического ожидания и дисперсии.

Точечные оценки. Точечной оценкой наз. такая Оценка (О), значение к-рой представимо геометрически в виде точки в том же пространстве, что и значения неизвестных параметров (размерность пространства равна числу оцениваемых параметров). Именно точечные О. с. и используются как приближенные значения для неизвестных физич. величин. В дальнейшем для простоты предполагается, что оценке подлежит один единственный параметр; в этом случае точечная О. с. представляет собой функцию от результатов наблюдений, принимающую числовые значения.

Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к ис­тинному значению числовой характеристики.

Несмещенной на­зывается оценка, математическое ожидание которой равно оце­ниваемой числовой характеристике (параметру).

Оценка называется эффективной, если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра, т.е. наиболее эффективной счи­тают ту из нескольких возможных несмещенных оценок, которая имеет наименьшую дисперсию.

Требование несмещенности на прак­тике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим сме­щением и малой дисперсией может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не все­гда удается удовлетворить одновременно все три этих требова­ния, однако выбору оценки должен предшествовать ее критиче­ский анализ со всех перечисленных точек зрения.

Наиболее распространенным методом получения оценок явля­ется, метод наибольшего (максимального) правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером, который приводит к асимптотически несмещенным и эффективным оценкам с при­ближенно нормальным распределением. Среди других методов мож­но назвать методы моментов и наименьших квадратов.