Оценки математического ожидания и дисперсии

Пусть закон распределения случайной величины X содержит неизвестный параметр . Требуется на основании опытных данных найти подходящую оценку для параметра . Пусть

наблюдаемые значения случайной величины X, получаемые в результате n независимых опытов. Но, с другой стороны, результат можно представлять как набор n независимых случайных величин:

,

представляющих собой n независимых копий случайной величины X, именно – случайная величина, представляющая собой результат i-го опыта, но имеющая тот же закон распределения, что исследуемая случайная величина X.

Случайная величина

,

построенная на основе статистических данных называется оценкой (точечной оценкой) параметра . является случайной величиной, закон распределения которой зависит, во-первых, от закона распределения случайной величины X, во-вторых, от числа опытов n. Для того чтобы оценка имела практическую ценность, она должна обладать следующими свойствами:

1. Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е.

.

В противном случае (если ) оценка называется смещенной.

Естественно в качестве оценки, т.е. приближенного значения неизвестного параметра, брать несмещенные оценки; в этом случае мы не делаем систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a при неограниченном возрастании n:

при .

Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом числе опытов n со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра по модулю меньше любого заранее выбранного числа e > 0.

3. Эффективность. Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие:

.

Оценка, обладающая свойством, называется эффективной, иначе, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Условия несмещенности, состоятельности и эффективности являются условиями доброкачественности оценки, что является необходимым при обработке статистических данных.

 

Точечные оценки математического ожидания
и дисперсии

Если рассматривается случайная величина , имеющая математическое ожидание и дисперсию , то оба эти параметра считаются неизвестными. Поэтому над случайной величиной производится независимых опытов, которые дают результаты: . Необходимо найти состоятельные и несмещенные оценки неизвестных параметров и .

В качестве оценок и обычно выбираются соответственно статистическое (выборочное) среднее значение и статистическая (выборочная) дисперсия:

; (8.11)

. (8.12)

Оценка математического ожидания (8.11) является состоятельной согласно закону больших чисел (теорема Чебышева):

.

Математическое ожидание случайной величины

.

Следовательно, оценка является несмещенной.

Дисперсия оценки математического ожидания:

.

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то оценка является также и эффективной.

Математическое ожидание оценки дисперсии

.

В то же время

.

Так как , а , то получаем

. (8.13)

Таким образом, – смещенная оценка, хотя является состоятельной и эффективной.

Из формулы (8.13) следует, что для получения несмещенной оценки следует видоизменить выборочную дисперсию (8.12) следующим образом:

, (8.14)

которая считается "лучшей" по сравнению с оценкой (8.12), хотя при больших эти оценки практически равны друг другу.

 

 

билет №_11_

Накопители на дискетах. Флешь-накопители и накопители на электронных картах. Накопители на оптических дисках. Общие принципы устройства, записи и хранения, технические характеристики.

Центральная предельная теорема.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА