Метод Форстера-Стьюарта проверки гипотез о наличии или отсутствии тренда. Метод Чоу проверки стабильности тенденций

Одним из наиболее простых методов выявления трендовой компоненты во временном ряду является метод Форстера-Стьюарта.

На первом шаге реализации данного метода каждый уровень временного ряда yt

сравнивается со всеми предыдущими уровнями. На основании результатов сравнений рассчитываются вспомогательные величины:

Величина dt может принимать значения +1, 0, -1.

Общее количество вспомогательных величин будет равно (N-1).

На следующем шаге все значения величины dt суммируются, и рассчитывается величина D по формуле:

Основная гипотеза формулируется как утверждение об отсутствии трендовой компоненты во временном ряду.

Основная гипотеза проверяется с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают с критическим значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента.

Критическое значение t-критерия tкрит(а,N–1) определяется по таблице распределения Стьюдента, где а – уровень значимости, (N-1) – число степеней свободы.

Наблюдаемое значение t-критерия при проверке основной гипотезы определяется по формуле:

где SD – стандартное отклонение величины D. Значения SD для временных рядов, длиной от 10 до 100 наблюдений, занесены в специальную таблицу.

При проверке гипотез возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|>tкрит, то основная гипотеза отвергается. Следовательно, в исходном временном ряду присутствует трендовая компонента.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т.е. |tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, в исходном временном ряду отсутствует трендовая компонента.

С помощью метода или теста Чоу проверяется основная гипотеза о стабильности временного ряда. Если ряд характеризуется нестабильной тенденцией, то с определённого момента времени t* происходит изменение характера динамики анализируемого показателя под влиянием ряда внешних факторов, что в результате приводит к изменению параметров уравнения тренда, описывающего данную динамику.

Следовательно, весь временной ряд можно разделить на две подвыборки: первая подвыборка содержит значения временного ряда до переломного момента t* и вторая подвыборка содержит значения временного ряда после переломного момента.

Будем считать, что весь временной ряд представляет собой модель регрессии модель без ограничений. Обозначим данную модель через UN. Отдельными подвыборками будем считать частные случаи модели регрессии без ограничений. Обозначим эти частные подвыборки как PR.

Введём следующие обозначения:

PR1 – первая подвыборка;

PR2 – вторая подвыборка;

ESS(PR1) – сумма квадратов остатков для первой подвыборки;

ESS(PR2) – сумма квадратов остатков для второй подвыборки;

ESS(UN) – сумма квадратов остатков для общей модели регрессии.

– сумма квадратов остатков для наблюдений первой подвыборки в общей модели регрессии;

– сумма квадратов остатков для наблюдений второй подвыборки в общей модели регрессии.

Для частных моделей регрессии справедливы следующие неравенства:

Условие (ESS(PR1)+ESS(PR2))= ESS(UN) выполняется только в том случае, если коэффициенты частных моделей регрессии и коэффициенты общей модели регрессии без ограничений будут одинаковы, но на практике такое совпадение встречается очень редко.

Основная гипотеза формулируется как утверждение о структурной стабильности тенденции общего временного ряда.

Альтернативная или обратная гипотеза формулируется как утверждение о структурной нестабильности тенденции общего временного ряда

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора.

Наблюдаемое значение F-критерия сравнивают с критическим значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора.

Критическое значение F-критерия Фишера определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора в зависимости от уровня значимости а и двух степеней свободы k1=m+1 и k2=n-2m-2.

Наблюдаемое значение F-критерия рассчитывается по формуле:

где ESS(UN) – ESS(PR1) – ESS(PR2) – величина, характеризующая улучшение качества модели регрессии после разделения её на подвыборки;

m – количество факторных переменных (в том числе фиктивных);

n – объём общей выборочной совокупности.

При проверке выдвинутых гипотез возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл≥Fкрит, то основная гипотеза отклоняется. Следовательно, исходный временной ряд не имеет общей стабильной тенденции.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл‹Fкрит, то основная гипотеза принимается. Следовательно, исходный временной ряд может быть описан одним трендовым уравнением.

Аналитический вид тренда

Метод аналитического выравнивания с помощью функций времени или кривых роста является основным методом представления тренда в аналитическом виде, используемым в эконометрике. Суть данного метода заключается в аппроксимации временного ряда определённой формой регрессионной кривой. При этом наиболее проблематичным является вопрос о выборе функции тренда.

Выбор выравнивающей кривой может осуществляться на основании заранее заданных критериев, к которым относятся:

1) множественный коэффициент детерминации;

2) сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений временного ряда от теоретических значений (рассчитанных с помощью функции тренда).

Методом конечных разностей называется метод, позволяющий подобрать подходящую форму кривой. Его применение возможно в том случае, если временной ряд содержит равностоящие друг от друга уровни.

Конечной разностью первого порядка (разностным оператором первого порядка) называется разность между соседними уровнями временного ряда:

Разностным оператором второго порядка (конечной разностью второго порядка) называется разность между соседними разностными операторами первого порядка:

В общем случае разностным оператором i-го порядка называется разность между соседними разностными операторами (i-1)-го порядка:

Если разностные операторы первого порядка постоянны и равны между собой

а разностные операторы второго порядка равны нулю

то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией вида y=a+β*t+ε.

Если разностные операторы второго порядка постоянны и равны между собой

а разностные операторы третьего порядка равны нулю

то тренд изучаемого временного ряда можно аппроксимировать параболической функцией второго порядка вида y=a+β1*t+β2*t2..

Следовательно, порядок разностных операторов, являющихся постоянными для данного временного ряда, определяет степень уравнения тренда:

y=∑βj*tj.

Оценки неизвестных коэффициентов уравнения тренда рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.

Если тренд временного ряда можно аппроксимировать линейной функцией, то её коэффициенты можно рассчитать с помощью метода моментов. При этом в модель вводится новая переменная времени T, началом координат которой является середина временного ряда. Таким образом, её сумма по всем элементам равняется нулю.

Для временного ряда, количество уровней которого является нечётным, переменная T=0 соответствует середине данного ряда. Выше нулевого уровня проставляются числа -1, -2, -3,…., а ниже данного уровня – числа +1, +2, +3,…

Для временного ряда, количество уровней которого является чётным, числа -1, -2, -3 и т. д. проставляются до середины ряда, а числа + 1, +2, +3 – ставятся после середины ряда.

Линейная модель регрессии с учётом новой переменной принимает вид:

yt=a+β*Tt+εt.

Оценки неизвестных коэффициентов данной модели рассчитываются из системы нормальных уравнений:

Решением данной системы будут оценки коэффициентов уравнения тренда: