Проверка гипотезы о значимости частного и множественного коэффициентов корреляции

Предположим, что по данным выборочной совокупности была построена линейная модель множественной регрессии. Задача состоит в проверке значимости частных и множественного коэффициентов корреляции.

Рассмотрим процесс проверки значимости частных коэффициентов корреляции.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости частных коэффициентов корреляции, т. е.

Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости частных коэффициентов корреляции, т.е.

Н1:r(yxi/x1…xn-1)≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью t-критерия Стьюдента.

Наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением t-критерия, которое определяется по таблице распределения Стьюдента и называется критическим.

При проверке значимости частного коэффициента корреляции критическое значение t-критерия определяется как tкрит(;n–l–1), где а – уровень значимости, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров, (n–l–1) – число степеней свободы, которое определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

При проверке основной гипотезы вида Н0:r(yxi/x1…xn-1)=0 наблюдаемое значение t-критерия Стьюдента рассчитывается по формуле:

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю больше критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. |tнабл|›tкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции отвергается, и между переменными xi и y существует корреляционная связь при постоянных значениях остальных переменных, включённых в модель регрессии.

Если наблюдаемое значение t-критерия (вычисленное по выборочным данным) по модулю меньше или равно критического значения t-критерия (определённого по таблице распределения Стьюдента), т. е. | tнабл|≤tкрит, то основная гипотеза о незначимости частного коэффициента корреляции принимается, и между переменными xi и y отсутствует корреляционная связь при постоянных значениях остальных переменных, включённых в модель регрессии. Следовательно, включение независимой переменной xi в данную модель регрессии является необоснованным.

Рассмотрим процесс проверки значимости коэффициента множественной корреляции.

Основная гипотеза состоит в предположении о незначимости коэффициента множественной корреляции, т. е.

Обратная или конкурирующая гипотеза состоит в предположении о значимости коэффициента множественной корреляции, т. е.

Н1:R(y,xi)≠0.

Данные гипотезы проверяются с помощью F-критерия Фишера-Снедекора через коэффициент множественной детерминации.

Наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное на основе выборочных данных) сравнивают со значением F-критерия, которое определяется по таблице распределения Фишера-Снедекора, и называется критическим.

При проверке значимости коэффициента множественной корреляции критическое значение F-критерия определяется как Fкрит(a;k1;k2), где а – уровень значимости, k1=l–1 и k2=n–l – число степеней свободы, n – объём выборочной совокупности, l – число оцениваемых по выборке параметров.

При проверке основной гипотезы вида Н0:R(y,xi)=0 наблюдаемое значение F-критерия Фишера-Снедекора рассчитывается по формуле:

где R2(y,xi) – коэффициент множественный детерминации.

При проверке основной гипотезы возможны следующие ситуации.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) больше критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл>Fкрит, то с вероятностью а основная гипотеза о незначимости коэффициента множественной корреляции отвергается, и он признаётся значимым. В этой ситуации включение в модель регрессии всех исследуемых переменных считается обоснованным.

Если наблюдаемое значение F-критерия (вычисленное по выборочным данным) меньше или равно критического значения F-критерия (определённого по таблице распределения Фишера-Снедекора), т. е. Fнабл≤Fкрит, то основная гипотеза о незначимости коэффициента множественной корреляции принимается, и он признаётся незначимым. В этой ситуации построение модели регрессии на основе исследуемых переменных считается необоснованным.