Позиция «интуиционистов» (Л. Э. Брауэр и др. ) в полемике по основаниям математики. Современные следствия результатов их исследований.

Интуиционизм – система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

В своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого Л. Э. Брауэром.

Объектами исследования интуиционистской математики являются конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, списки конструктивных объектов. Кроме того, характерной чертой интуиционизма, отличающей его от конструктивной математики, является рассмотрение свободно становящихся последовательностей математических объектов (становление морозного рисунка на стекле) (то есть неограниченно продолжающихся и не управляемых никаким заранее определённым законом процессов выбора таких объектов). Рассмотрение свободно становящихся последовательностей связано с привлечением абстракции актуальной бесконечности (отказ от которой в интуиционизме, таким образом, не является абсолютным).

Интуиционисты не решили исходное противоречие. Но они за 50 лет до возникновения синергетики указали на 1 из его аналогов. Они указали на необходимость исследования онтологического основания феномена нелинейности. Понятия «линейное» и «нелинейное» пришли в науку из математики. Если физический процесс отражается линейным уравнением, то он линейный. Но это не так, что является антологическим основанием нелинейности конкретных процессов. В настоящее время известно, что, если система изолирована, то она линейная. Другими словами, Брауэр показал, что в основаниях и структуре математики присутствует единство линейности и нелинейности. Свободно становящейся послед-ть в онтологич. понимании хорошо пересекактся с концепцией голографич. вселенной Дэвида Бома. Голографичность Вселенной состоит в том, что все ее компоненты связаны со всеми. Такая же суть и у свободно становящейся послед-ти. Отсюда берет начало концепция нечетких множеств Заде («Теория лингвистической переменной»), а также не далеко до концепции теории категорий и функторов Эленберга-МакКлейна.

Интуиционисты (Я. Брауэр, Г. Вейль, А. Гейтинг, чуть ранее Л. Кронекер и др.) исходили из того, что математика не может быть сведена к логике, ибо уходит в структуры мысли глубже ее, логика связана с языком, который, как показали парадоксы, несовершенен. Поэтому математика не нуждается ни в языке, ни в логике, ибо невербализуема и, будучи независимой, автономной от языка, опирается на интуицию. Как полагает голландский математик Я. Брауэр, считающийся основателем интуиционизма, математические мысли рождаются вне слов, слова используются только для передачи мысли, математическое содержание которой не зависит от словесного одеяния. Вместе с тем это не означает отрицания роли логики вообще. В ней есть для интуиционизма ценное. Брауэр, например, выделяет интуитивно приемлемые логические принципы, которые можно использовать. Только необходимо проводить анализ границ их применимости.

5. Основания построения унитарного и поливариантного облика унитарности математики. Неклассика и постнеклассика математики.

В начале 20 в. возникла полемика по основаниям матем-ки. Ее суть состоит в следующем: матем-ка того времени строилась на теории множеств Кантора. Можно ли отражать реально сущ. бесконечности в математическом мире с помощью математических бесконечностей, полученных на ограниченных множествах? Сразу был получен ответ: бесконечности материального мира актуальные, а бесконечности математики – потенциальные. В ходе осмысления проблемы сложились 3 течения: логицисты, формалисты, интуиционисты.

Совр. этап в развитии матем-ки принято называть постнеклассическим. Важнейш. звеном науч. постенеклассицизма стало общенауч. знание, получившее новый уровень целостности с созданием синергетики.

Если классицизм науки рассматривал объекты как изолированные системы, то неклассицизм выходит на исследования неизолированных взаимосвязанных друг с другом систем-объектов. В конечном счете, исследование этих объектов привело к существенному изменению структурного облика самой науки. Произошла бурная экспансия нелинейных методов и вообще феномена нелинейности в основания и структуру исторически первого слоя общенаучного знания, а именно в математику и логику. Был создан еще 1 слой общенаучного знания, поскольку одних нелинейных методов в мат-ке и логике оказалось недостаточно. К основным звеньям этого слоя относятся: вероятностные и статистические методы, теория информации, теория систем, кибернетика и синергетика.

Бурное вхождение нелинейных методов и вообще феномена нелинейности характерен для развития математики и логики как в период неклассики, так и в постнеклассику. Становлению именно постнеклассики науки отвечают возникновение в 1 слое общенаучного знания принципиально новых подходов:

1) Переход от теории множеств Кантора к теории нечетких множеств Заде («Теория лингвистической переменной»). Эта теория дает больше возможностей в отражении поведения неизолированный систем методами математики.

2) В 70-х резко возрос интерес математиков к теории категорий и функторов. Под категориями они понимали понятия (слова), в содержание которых входит сразу несколько теорий. Под функторами они понимали многоуровневые связи между категориями. По сути Эленберг и Маклей заложили основы построения нового варианта унитарной математики. Теория категорий и функторов начала применяться в построении математической модели искусственного интеллекта японцами. Коллеги Эленберга и Маклейна развили идеи японцев до уровня всего облика математики, при этом они заменили теорию множеств Кантера на нелинейную нечетких множеств Заде. В настоящее время эта теория претендует на роль оснований поливариантного облика унитарности математики. На такой новой базе, дающей возможность получать в более гибкой форме, чем на основе структур поливариантные облики унитарности математики при построении подсистем с помощью сложного компьютерного моделирования с применение нечетких множеств Заде, можно получить математическую картину ВУС, где каждый облик (из всего спектра поливариантности) как бы отражает ВУС. Все эти облики перекликаются, будучи неизолированными, что и позволяет отразить многообразие ее развития.

3) с созданием синергетики наука смогла ответить, что является онтологическим основанием вероятности. Таким основанием является неизолированная и целостная системность во взаимодействии. Математика смогла пройти путь к пониманию всеобщей детерминации без обращения к синергетике. Математика смогла построить матем. Облик картины всеоб. Детерминации. Это и есть выход матем-ки на уровень фил-и;

4) пространство обобщенных (приведенных) координат Гельфанда. В нем все координаты всех частиц связаны друг с другом, каждый момент она своя, в обратную сторону движение повернуть нельзя. Это пространство использовал Пригожин в решении квантового парадокса. Пространство приведенных координат похоже на построение голографической Вселенной.