Основания «необъяснимой» гибкости математики в научном исследовании. Классика, неклассика и постнеклассика математики.

Математика и логика – это исторически первый уровень общенаучного знания, они применяются во всех отраслях науч. Знания.

В ходе развития научного знания ученые не раз ставили с вопрос: откуда у мат-ки такая непостижимая гибкость? В античн. времена большую известность приобрела математич. и философ. школа пифагорейцев. Пифагор и его ученики пытались объединить матем. и фил. учения. Кто-то сказал: «Мат-ку стоит изучать лишь за то, что она приводит ум в порядок!»

Школа Пифагора известна целым рядом достижений в мат-ке: теорема Пифагора, признаки делимости, теория простых чисел, просчитали тональность струны в зав-ти от длины и записали уравнение колеблющейся струны. Их вывод о том, что все есть число сейчас следует признать неправильным, но если понять это как то, что все можно в мире отразить методами и средствами мат-ки, то это совершенно правильно. Гегель сказал, что если противоречие не решается в данной системе, то нужно выйти за рамки данной системы и задача решится. Именно так и решается множ-во матем. задач.

В мат-ке конечно, как и в другом виде познания работают одновременно 3 вида мышления и 3 вида языка, но, тем не менее, в мат-ке явно превалирует ситуативное мышление.

Возникает вопрос: если исследования пифагорейцев были скрыты и за разглашение информации выгоняли из школы, то откуда мы знаем об их изотерической философии? Известно, что они писали на заказ законы, тексты которых хорошо сохранились. Правление по этим законам было практически аристократическим, что значило то, что люди не замечали, что они живут по этим законам. Такие законы могли написать те, кто хорошо знал мотивы поведения людей. Позже их изгнали, и они начали продавать свои идеи. Пифагорейцы, решая свои математ. задачи дошли до такого уровня развития ситуац. мышления, что они увидели, что могут прекрасно понимать людей и даже назвать мотивы их поведения. А еще с древности было известно, что мотивы это то, что люди тщательнее всего скрывают. После осознания этого они засекретили свои идеи, так как поняли, что такое знание не должно попасть не в те руки.

Мат-ка строится таким образом – придумываются так назыв. матем. объекты, совершенно произвольно между ними выстраивается некая матем. связь. Если использовать правила связи между матем. объектами так, что не встречаются матем. объекты, то можно считать, что построена матем. теория.

Из сказанного можно догадаться откуда берется непостижимая гибкость мат-ки. человек как известно это житель 2 миров: мира внешнего космоса и мира космоса собственной души. И если человеку удается жизнь сразу в 2 мирах, то жизнь в них безусловно представляется драматичной, но тем не менее для здорового человека эти 2 мира имеют хорошее согласие. Внешний мир хар-ется необыч. богатством всеобщей универс. связи (ВУС). В совр. науке это получило отражение в концепции голографич. вселенной Дэвида Бома, а дух мир чел-ка также гармоничен, что получило отражение в концепции голографич. мозга Прибрана. Богатство дух. мира чел-ка позволяет отразить бог-во внешнего мира. Каждый чел-к делает это по-своему в обыденной практике, в труд. деят-ти. Матем-ки делают это, пытаясь отразить гармонию внешнего мира придуманными ими матем. объектами и их соотношениями.

Мат-ка, также как и наука, прошла след. путь: -преднаучный облик (предклассика); -классика мат-ки; -неклассика мат-ки; -постнеклассич. мат-ка.

В начале 20 в. возникла полемика по основаниям матем-ки. Ее суть состоит в следующем: матем-ка того времени строилась на теории множеств Кантора. Можно ли отражать реально сущ. бесконечности в математическом мире с помощью математических бесконечностей, полученных на ограниченных множествах? Сразу был получен ответ: бесконечности материального мира актуальные, а бесконечности математики – потенциальные. В ходе осмысления проблемы сложились 3 течения: логицисты, формалисты, интуиционисты.

Совр. этап в развитии матем-ки принято называть постнеклассическим. Важнейш. звеном науч. постенеклассицизма стало общенауч. знание, получившее новый уровень целостности с созданием синергетики.

Если классицизм науки рассматривал объекты как изолированные системы, то неклассицизм выходит на исследования неизолированных взаимосвязанных друг с другом систем-объектов. В конечном счете, исследование этих объектов привело к существенному изменению структурного облика самой науки. Произошла бурная экспансия нелинейных методов и вообще феномена нелинейности в основания и структуру исторически первого слоя общенаучного знания, а именно в математику и логику. Был создан еще 1 слой общенаучного знания, поскольку одних нелинейных методов в мат-ке и логике оказалось недостаточно. К основным звеньям этого слоя относятся: вероятностные и статистические методы, теория информации, теория систем, кибернетика и синергетика.

Бурное вхождение нелинейных методов и вообще феномена нелинейности характерен для развития математики и логики как в период неклассики, так и в постнеклассику. Становлению именно постнеклассики науки отвечают возникновение в 1 слое общенаучного знания принципиально новых подходов:

1) Переход от теории множеств Кантора к теории нечетких множеств Заде («Теория лингвистической переменной»). Эта теория дает больше возможностей в отражении поведения неизолированный систем методами математики.

2) В 70-х резко возрос интерес математиков к теории категорий и функторов. Под категориями они понимали понятия (слова), в содержание которых входит сразу несколько теорий. Под функторами они понимали многоуровневые связи между категориями. По сути Эленберг и Маклей заложили основы построения нового варианта унитарной математики. Теория категорий и функторов начала применяться в построении математической модели искусственного интеллекта японцами. Коллеги Эленберга и Маклейна развили идеи японцев до уровня всего облика математики, при этом они заменили теорию множеств Кантера на нелинейную нечетких множеств Заде. В настоящее время эта теория претендует на роль оснований поливариантного облика унитарности математики. На такой новой базе, дающей возможность получать в более гибкой форме, чем на основе структур поливариантные облики унитарности математики при построении подсистем с помощью сложного компьютерного моделирования с применение нечетких множеств Заде, можно получить математическую картину ВУС, где каждый облик (из всего спектра поливариантности) как бы отражает ВУС. Все эти облики перекликаются, будучи неизолированными, что и позволяет отразить многообразие ее развития.

3) с созданием синергетики наука смогла ответить, что является онтологическим основанием вероятности. Таким основанием является неизолированная и целостная системность во взаимодействии. Математика смогла пройти путь к пониманию всеобщей детерминации без обращения к синергетике. Математика смогла построить матем. Облик картины всеоб. Детерминации. Это и есть выход матем-ки на уровень фил-и;

4) пространство обобщенных (приведенных) координат Гельфанда. В нем все координаты всех частиц связаны друг с другом, каждый момент она своя, в обратную сторону движение повернуть нельзя. Это пространство использовал Пригожин в решении квантового парадокса. Пространство приведенных координат похоже на построение голографической Вселенной.

2. Полемика по основаниям математики. Концепция «логицистов» (Б.Рассел и А.Уайтхед). Современные следствия этой концепции.

Логицизм — одно из основных направлений математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики.

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, Уайтхеда и Рассела. Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств, пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

ЛОГИЦИСТЫ (Бертран Рассел, Арнольд Уайтхед). Основная идея: мат-ка – это та же логика. Мат-ки в лице Черча, Геделя и сов. академика Бочвара показали, что мат-ка и логика действительно пересекаются, но они не тождественны друг другу. Вот эта часть полемики не решила проблему основания мат-ки, но в названной полемике достаточно четко прослеживается связи и различия логики и мат-ки. При этом Уайтхед и Рассел переоткрыли математ. логику, но не забыли подчеркнуть, что ее первооткрывателем был Лейбниц. Рассел при этом предложил логич. цепи, которые очень похожи на цепи Маркова и они очень хорошо перекликаются с идеями интуиционистов. После работ Рассела и Уайтхеда логика приобрела принципиально матем. облик, а мат-ка стала использовать логич. основы собственного построения теории.

Лидеры логицизма видели основания математики в логике. Первые идеи логицизма сформулированы в конце XIX в. в работах немецкого математика и логика Г.Фреге и развиты в самом начале XX в. Б. Расселом. В основе логицизма лежит убеждение, что математика - своего рода надстройка к фундаменту, заложенному логикой и что математические объекты покоятся на логических основаниях. Иначе говоря, логицизм вообще полагает математику лишь частью, отраслью логики.

В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал Гёдель, никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.